onupat-somanupater-ganitik-somssar-somadhan
Madhyamik

অনুপাত ও সমানুপাত – কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান

Posted on Author JUMP Magazine Comments Off on অনুপাত ও সমানুপাত – কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান
শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:অনুপাত-সমানুপাত (তৃতীয়পর্ব)

আগের দুটি পর্বে আমরা অনুপাত এবং সামানুপাতের ধারণা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা ঐ দুটি ধারণার উপর ভিত্তি করে কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করবো।

প্রথম উদাহরণ

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2(x+y+z)}{a+b+c}= \frac{x+y+z}{a+b+c}…………..(i)

আবার, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{(x+y)+(y+z)-(z+x)}{(3a-b)+(3b-c)-(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2y}{4a+2b-4c}=\frac{y}{2a+b-2c}=\frac{by}{2ab+b^2-2bc} [লব ও হর কে b দ্বারা গুন করে পাই]……….(ii)

অনুরুপ ভাবে, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{(x+y)-(y+z)+(z+x)}{(3a-b)-(3b-c)+(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

=\frac{2x}{2a-4b+4c}=\frac{ax}{a^2-2ab+2ac} [লব হরকে a দিয়ে গুন করে পাই]…………(iii)

একই ভাবে,

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{cz}{c^2-2ac+2bc}………(iv)

(ii)+(iii)+(iv) করে পাই,

প্রতিটি অনুপাত= \frac{ax+by+cz}{a^2-2ab+2ac+2ab+b^2-2bc+c^2-2ac+2bc}

=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}……………..(v)

(i) ও (v) থেকে পাই,

\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2} [প্রমাণিত]

jump-magazine-subscription

দ্বিতীয় উদাহরণ

যদি \frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v} হয়, তবে দেখাই যে, \frac{x}{y}=\frac{u}{v}

\frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v}

বা, \frac{3x+4y}{3x-4y}= \frac{3u+4v}{3u-4v}

বা, \frac{(3x+4y)+(3x-4y)}{(3x+4y)-(3x-4y)}=\frac{(3u+4v)+(3u-4v)}{(3u+4v)-(3u-4v)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}

বা, \frac{x}{y}=\frac{u}{v} [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

তৃতীয় উদাহরণ

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d) হলে, প্রমাণ করি যে, a:b=c:d

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)

বা, \frac{(a+b+c+d)}{(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)}{(a-b-c+d)}

বা, \frac{(a+b+c+d)+(a+b-c-d)}{(a+b+c+d)-(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)+(a-b-c+d)}{(a-b+c-d)-(a-b-c+d)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}

বা, \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}

বা, \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}

বা, \frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}

বা, \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}

বা, \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

\therefore a:b=c:d [প্রমাণিত]

চতুর্থ উদাহরণ

x^{2}:(by+cz)= y^{2}:(cz+ax)= z^{2}:(ax+by)=1 হলে দেখাও যে, \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1

\frac{x^{2}}{by+cz}=\frac{y^{2}}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1

\therefore x^{2}=by+cz, y^{2}=cz+ax, z^{2}=ax+by

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}

= \frac{ax}{ax+x^{2}}+\frac{by}{by+y^{2}}+\frac{cz}{cz+z^{2}}=1

= \frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}

=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1 [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

পঞ্চম উদাহরণ

\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y} হলে প্রমাণ করি, \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

ধরি, \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k [ধরি, k\neq0]

\therefore a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)

\therefore (a-b)=k(y+z)-k(z+x)=k(y-x)

(c-a)=k(x+y)-k(y+z)=k(x-z)

(b-c)=k(z+x)-k(x+y)=k(z-y)

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{k(y+z)k(z-y)}{(y+z)(y-z)}=-k^{2}

\therefore \frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{k(z+x)k(x-z)}{(z+x)(z-x)}=-k^{2}

\therefore \frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}=\frac{k(x+y)k(y-x)}{(x+y)(x-y)}=-k^{2}

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

[প্রমাণিত]

আশা করছি, অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা তোমাদের কাছে অনেকটাই স্পষ্ট হয়েছে।

অধ্যায় সমাপ্ত।

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

JUMP Magazine
https://jumpmagazine.in

Related Articles

plant-hormone
Madhyamik

উদ্ভিদ হরমোন

Posted on Author Nandita Mukherjee

জীবনবিজ্ঞান – দশম শ্রেণি – জীবজগতের নিয়ন্ত্রন ও সমন্বয় (উদ্ভিদ হরমোন)| আমরা জানি যে প্রাণীদেহে ইন্দ্রিয় এবং স্নায়ুতন্ত্র আছে। এই স্নায়ুতন্ত্রের মাধ্যমে আমরা প্রাণীরা উদ্দীপনায় সাড়া দিয়ে থাকি। উদ্ভিদ দেহে প্রাণীদেহের অনুরূপ কোন স্নায়ুতন্ত্র নেই, অথচ উদ্ভিদের চলন পর্বে আমরা দেখেছি যে উদ্ভিদ বহিঃস্থ উদ্দীপনায় সাড়া দিতে সক্ষম! এই কাজটি উদ্ভিদ করতে পারে কিছু বিশেষ […]
Madhyamik

ধাতু ও তাদের সংকর ধাতু | ধাতুবিদ্যা

Posted on Author JUMP Magazine

শ্রেণি- দশম | বিষয় – ভৌতবিজ্ঞান | অধ্যায় – ধাতুবিদ্যা আমাদের প্রাত্যহিক জীবনে আমরা ধাতুর তৈরি অনেক জিনিস দেখি এবং রোজ ব্যবহার করি। যেমন – লোহা, তামা, সোনা, রুপা ইত্যাদি। লোহার তৈরি সাইকেল, কড়াই, স্টিল ও অ্যালুমিনিয়ামের বাসনপত্র, সোনা ও রুপা অলংকার হিসাবে আমরা ব্যবহার করে থাকি। আমরা এই ধাতু ও ধাতু সংকর সম্পর্কে কিছু […]

dighat-somikrn
Madhyamik

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ধারণা

Posted on Author Aditi Sarkar

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত। অধ্যায়: একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (প্রথম পর্ব) বাংলায় আমরা যাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে চিনি; তার ইংরাজি নাম হল Quadratic Equation with One Variable। একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ হল x2+2x+1 = 0 ‘Quad’ শব্দটির অর্থ হল ‘Square’ বা ‘দ্বিঘাত’। উপরের উদাহরণটিতে একটু লক্ষ্য করলেই বোঝা যাবে ‘x’ চলরাশিটির দ্বিঘাত […]