ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ (উচ্চতা ও দূরত্ব)

শ্রেণিঃ দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ (উচ্চতা ও দূরত্ব)

ত্রিকোণমিতি হল ত্রিভুজের উচ্চতা ও দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক।

একটি ত্রিভুজ হল তিন বাহুবিশিষ্ট বদ্ধ আকার। কোনো বস্তুর উচ্চতা ও দূরত্বের (কোনো কিছু থেকে) সম্পর্ক বোঝা যায় ত্রিকোণমিতির দ্বারা।

উচ্চতা ও দূরত্ব

উচ্চতা হল কোনো বস্তুর উল্লম্বদিকের মান এবং কোনো নির্দিষ্ট স্থান থেকে বস্তুটির আনুভূমিক দূরত্ব হল তার দূরত্ব।

যদি আমরা এমন একটি সরল রেখার কথা চিন্তা করি, যা পর্যবেক্ষনের স্থান থেকে বস্তুর সর্বোচ্চ বিন্দুকে যোগ করে; তবে সরলরেখাটি, বস্তুর উচ্চতা এবং দূরত্ব ঐ পর্যবেক্ষনের স্থান থেকে, একটি ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

উপরোক্ত ছবিটি লক্ষ্য করলে বোঝা যাচ্ছে, AB হল বস্তুর উচ্চতা, এই উচ্চ স্তম্ভকে C বিন্দু থেকে পর্যবেক্ষন করা হচ্ছে। সুতরাং BC হল দূরত্ব।

এখন ∠ACB হল উচ্চতা বা উন্নতি কোণ (α) এবং যদি A বিন্দু থেকে BC-এর সমান্তরালে সরলরেখা টানা হয় তাহলে তা AC এর সাথে যে কোণ উৎপন্ন করবে তা হল কোণ; ধরি এক্ষেত্রে অবনতি কোণ হল β।

গাণিতিক সমস্যার ক্ষেত্রে উচ্চতা, দূরত্ব বা কোণ এর মধ্যে যেকোন দুটি দেওয়া থাকলে, আমরা তৃতীয়টি বের করতে পারব।

আবার লক্ষনীয়, α = β যেহেতু একান্তর কোণ।

এছাড়াও , আমরা জানি Tan α = উচ্চতা / দূরত্ব

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

উচ্চতা ও দূরত্বের গাণিতিক সমস্যাগুলো ভালো করে লক্ষ্য করলে আমরা দেখবো সবকটি সমস্যার ক্ষেত্রেই নিম্নলিখিত যেকোন দুটি তথ্য দেওয়া থাকবে →

বস্তু থেকে পর্যবেক্ষকের দূরত্ব
বস্তুর উচ্চতা
উন্নতি কোণ / অবনতি কোণ

এই তথ্যগুলির ওপর ভিত্তি করেই আমাদের অবশিষ্ট গণনা করতে হবে।

কয়েকটি উদাহরণ সহযোগে বোঝার চেষ্টা করা যাক।

প্রথম উদাহরণঃ

একজন 1.5 ম উচ্চ ব্যাক্তি কোন টাওয়ার থেকে 28.5 m দূরে দাঁড়িয়ে আছে। উচ্চতা কোণ 45º হলে টাওয়ারটির উচ্চতা কত?

প্রথমে চিত্রটি এঁকে নেওয়া যাক, যাতে প্রশ্নটি ভালোভাবে বোঝা যায়।

এখন CD হল ব্যাক্তির উচ্চতা অর্থাৎ CD = 1.5m

আবার, AB হল টাওয়ারের উচ্চতা, সুতরাং D থেকে BC = 28.5 এর সমান্তরালে DE অঙ্কন করা হলো। DE = BC = 28.5 এবং ∠ADE = 45º নির্ণেয় উচ্চতা AB = H = (AE + 1.5)

এখন, $tan \; 45^{\circ} = \frac{AE}{ED}$

$1 = \frac{AE}{28.5}$

∴ AE = 28.5

∴ H = 28.5 +1.5

= 30 m (Ans)

এখন কয়েকটি উল্লেখযোগ্য points অবশ্যই মনে রাখা প্রয়োজন –

উচ্চতা কোণ ও অবনতি কোণ সর্বদাই সূক্ষ্ম কোণ এবং সমান হয়।
সর্বদাই অনুভুমিক রেখা থেকে কোণগুলি পরিমাপ করা হয়।

আশা করছি পুরো ব্যাপারটা বোঝা গেল। আবার একটি উদাহরণ কষে দেখা যাক।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

দ্বিতীয় উদাহরণঃ

একজন ব্যাক্তি নদীর তীরে দাঁড়িয়ে প্রত্যক্ষ করল, ওপর তীরে থাকা গাছটির উচ্চতা কোণ বা উন্নতি কোণ 60º । তিনি তীর থেকে 40 m দূরে গেলে উন্নতি কোণ হয় 30º। নদীটি কতটা চওড়া এবং গাছটির উচ্চতা কত?

প্রথমেই চিত্র এঁকে নেওয়া যাক।