ঘনফল নির্ণয়

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ঘনফল নির্ণয় (প্রথম পর্ব)

মোহনপুর গ্রামের বিদ্যালয়ের অষ্টম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীরা সকলে মিলে আজ খুব ব্যস্ত।

তাদের সকলকে শিক্ষিকা বলে গেছেন যে সকলে মিলে একসাথে মডেল বানাতে, যেগুলি তাদের শ্রেণিকক্ষে প্রদর্শিত হবে। আজ তারা একটি ঘনবস্তু তৈরী করেছে যেটি বড় লুডোর ছক্কার আকৃতির বা রুবিক কিউবের মত দেখতে।

এই ঘনবস্তুটির আকৃতি অনেকটা এই রকম।

ঘনকের তলসংখ্যা = 6, প্রান্তবিন্দু = 8, ধার বা বাহু = 12

যেহেতু, ঘনবস্তুটি একটি ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক আকার বিশিষ্ট তাই এর তিনটি মাত্রা যথাক্রমে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা। মেপে দেখা গেল যে, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার প্রতিটির মাপ 1 সেমি.।

যেহেতু তিনটি মাত্রার দৈর্ঘ্য সমান তাই এই ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক আকার বিশিষ্ট ঘনবস্তু গুলিকে বলা হয় ঘনক।

∴ 1 সেমি দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার একটি ঘনকের আয়তন = 1 সেমি × 1 সেমি × 1 সেমি = 1 সেমি³।

একইভাবে 1 সেমি বাহু বিশিষ্ট ঘনকটিকে নিয়ে তার পাশে আরো 1টি 1 সেমি বাহুবিশিষ্ট আর একটি ঘনক পাশাপাশি জুড়ে একটি 2 সেমি বাহুবিশিষ্ট ঘনক তৈরী হলে
মোট ছোট ঘনকের সংখ্যা = 2 সেমি × 2 সেমি × 2 সেমি = 8 সেমি³
অর্থাৎ 8টি।

একইভাবে, 3 সেমি মাপের একটি বড় ঘনক তৈরী করলে তাতে ছোট ঘনকের সংখ্যা $3 \times 3 \times 3 = 27$ টি

∴ 27 টি ছোট ঘনককে জুড়ে একটি বড় ঘনক তৈরী হবে।
আবার, 4 সেমি মাপের ঘনক বানাতে হলে আমার ছোট ঘনকের সংখ্যা $4 \times 4 \times 4 = 64$ টি

এই 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …….. এই সংখ্যাগুলিকে বলা হয় পূর্ণঘনসংখ্যা।
অর্থাৎ 1 এর ঘন $1 \times 1 \times 1 = 1^3 = 1$
2 এর ঘন $2 \times 2 \times 2 = 8$
3 এর ঘন $3 \times 3 \times 3 = 27$
আবার 1 এর ঘনফল $\sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{1\times1\times1} = 1$
2 এর ঘনফল $\sqrt[3]{8} =\sqrt[3]{2\times 2\times 2}= 2$
3 এর ঘনফল $\sqrt[3]{27} =\sqrt[3]{3\times3\times3}= 3$

পূর্ণঘনসংখ্যা সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা

1) 108 কে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘনসংখ্যা হবে?

উত্তরঃ এই ক্ষেত্রে, 108 কে প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব।
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
অর্থাৎ, 108 কে 2 দিয়ে গুণ করলে পাই
108 × 2 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
বা, $216 = 2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3= 6^3$
∴ 108 কে 2 দিয়ে গুণ করলে তা একটি পূর্ণঘনসংখ্যা হবে।

2) 2662 কে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘনসংখ্যা হবে?

উত্তরঃ 2662 = 2 × 11 × 11 × 11
অর্থাৎ, একটি 2 অতিরিক্ত
∴ $2662 \times 2 = 11 \times 11 \times 11$
বা, $1331 = (11)^3$
∴ 2662 কে 2 দিয়ে ভাগ করলে তা একটি পূর্ণঘনসংখ্যা হবে।

3) ঘনফল নির্ণয়ঃ1728

উত্তরঃ ∴ 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
$2^3 \times 2^3 \times 3^3$
$(2 \times 2 \times 3)^3$
$(12)^3$
∴ $\sqrt[3]{1728}= 12$

এবার এই ঘনফলের ধারণা কাজে লাগিয়ে আমরা আমাদের কিছু পরিচিত সূত্রের বা অভেদের ব্যাখ্যা খোঁজার চেষ্টা করি।

ধরা যাক একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি। তাহলে তার আয়তন = 5 সেমি × 5 সেমি × 5 সেমি = 125 ঘনসেমি

অর্থাৎ, ঘনকের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা

এবার, যদি কোন ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(a + b)$ সেমি হয়, তবে তার আয়তন
$= (a + b) \times (a + b) \times (a + b)$
$= (a + b) \times [a^2 + 2ab + b^2]$
$= a \times (a^2 + 2ab + b^2) + b \times (a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
∴ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ —(I)

চেনা চেনা লাগছে তো? এভাবেই কিন্তু প্রাচীন কালের গানিতজ্ঞরা $(a + b)^3$ অভেদটির উদ্ভব করেছিলেন।

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান । ভূগোল

আমরা এবার আরো কয়েকটি অভেদকে খুঁজে নেবার চেষ্টা করি।

একইভাবে, যদি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(a - b)$ সেমি হয়, তবে তার আয়তন
$= (a - b) \times (a - b) \times (a - b)$
$= (a - b) \times [a^2 - 2ab + b^2]$
$a \times (a^2 - 2ab + b^2) - b \times (a^2 - 2ab + b^2)$
$= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$
$= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
∴ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ —(II)

এবার, (I) নং অভেদ থেকে পাই,
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
বা, $(a + b)^3 - 3a^2b - 3ab^2 = a^3 + b^3$
বা, $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a^2b - 3ab^2$
বা, $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
বা, $a^3 + b^3 = (a + b){(a + b)^2 - 3ab}$
বা, $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ —(III)

আবার, (II) নং অভেদ থেকে পাই,
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2$
বা, $(a - b)^3 + 3a^3b - 3ab^2 = a^3 - b^3$
বা, $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
বা, $(a^3 - b^3) = (a - b){(a - b)^2 + 3ab}$
বা, $(a^3 - b^3) = (a - b){(a^2 -2ab + b^2 + 3ab}$
বা, $(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ —(IV)