সমীকরণ গঠন ও সমাধান

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: সমীকরণ গঠন ও সমাধান

আগের পর্বে আমরা সময় ও কার্য সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা সমীকরণ গঠন ও সমাধান সম্পর্কে আলোচনা করবো।

স্বাধীনতা দিবস উপলক্ষ্যে বিদ্যালয়ে ছেলেমেয়েরা উপস্থিত হয়েছে। আজ বিদ্যালয়ে প্রধান শিক্ষক মহাশয় পতাকা উত্তোলন করবেন এবং বক্তব্য রাখবেন। সকল শিক্ষক শিক্ষিকারা উপস্থিত হয়েছে। প্রধান শিক্ষক মহাশয় পতাকা উত্তোলন করলেন এবং এই দিনটির গুরুত্ব সম্পর্কে ছাত্রছাত্রীদের অবহিত করলেন। তারপর ছোট সংস্কৃতিক অনুষ্ঠান পর্ব নির্ধারিত করা হয়েছিল যার অংশ গ্রহণে ছাত্রছাত্রীরাই অগ্রণী ভূমিকা পালন করেছিল।

অনুষ্ঠান পর্ব মিটে যেতে সকল ছাত্রছাত্রীদের জন্য মিষ্টি বিতরণ করা হল।
মোট মিষ্টি আনা হয়েছিল 100 পিস ছাত্ররা ও ছাত্রীরা মিলিয়ে মোট 40 জন উপস্থিত ছিল।

প্রতিটি ছাত্রকে 2টি করে প্রতিটি ছাত্রীকে 3টি করে মিষ্টি দেওয়া হয়।
ধরি, ছাত্র উপস্থিত ছিল $x$ জন।
ছাত্রী উপস্থিত ছিল $(40 - x)$ জন।
$\therefore 2 \times x + 3 \times (40 - x) = 100$ -সমীকরণ গঠন
বা, $2x + 120 - 3x = 100$
বা, $2x - 3x = 100 - 120$
বা, $-x = -20$
বা, $x = 20$ -সমীকরণের বীজ
∴ ছাত্র উপস্থিত ছিল 20 জন।
ছাত্রী উপস্থিত ছিল (40 – 20) = 20 জন।

সমস্যাটি পড়ে সমীকরণ প্রথমে গঠন করা হল এবং সেই সমীকরণের বীজ বা সমাধান নির্ণয় করা হল।

বীজকে যদি সমীকরণে বসানো হয় তবে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

সমীকরণ গঠন করা হয় চলরাশি, সহগ ও ধ্রুবক পদের যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগের দ্বারা সমীকরণে যে চলরাশিটি দেওয়া থাকে হতে পারে সেটি x অথবা y অথবা z, সেই চলরাশির মান নির্ণয় করাই আমাদের কাঙ্খিত লক্ষ্যে।

যে চলরাশির মান নির্ণয় করা হবে সেই মানটিকে আমরা সমীকরণের সমাধানও বলতে পারি আবার বীজ ও বলতে পারি।

যেমন- ধরি,
$z = 7$
বা, $3z = 3 \times 7$ [উভয়দিকে 3 দিয়ে গুণ করে]
বা, $3z = 21$
বা, $3z - 5 = 21 - 5$ [উভয়দিকে 5 দিয়ে বিয়োগ করে]
বা, $3z - 5 = 16$
∴ $3z - 5 = 16$ একটি সমীকরণ তৈরি করলাম যার বীজ 7।

আমরা কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান দেখে নেব।

1)সমীকরণ গঠন করে ও সমাধান কর
সুচেতা একটি ভগ্নাংশ লিখল যার হর তার লবের চেয়েও বড়। আবার ভগ্নাংশটির লবের সঙ্গে 2 যোগ ও হর থেকে 1 বিয়োগ এবং লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সঙ্গে 2 যোগ করলে যে দুটি নতুন ভগ্নাংশ পাব তাদের গুণফল $\frac {2}{8}$ , সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান- ধরি সুচেতার লেখা ভগ্নাংশের লব $x$ ও হর $x + 3$
∴ ভগ্নাংশটি হল $\frac {x}{x + 3}$
ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে 2 যোগ করে হয় $(x + 2)$
হরের থেকে 1 বিয়োগ করে হয় $(x + 3 - 1) = (x + 2)$
∴ ভগ্নাংশটি দাঁড়ায় $\frac {x + 2}{x + 2}$
আবার, ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ করে হয় $(x - 1)$
হরের সঙ্গে 2 যোগ করে হয় $(x + 3 + 2) = (x + 5)$
∴ সেক্ষেত্রে ভগ্নাংশটি হল $\frac {x - 1}{x + 5}$
এই দুই নতুন ভগ্নাংশের গুণফল $\frac {2}{5}$
∴ $\frac {x + 2}{x + 2} \times \frac {x - 1}{x + 5} = \frac {2}{5}$
বা, $\frac {x - 1}{x + 5} = \frac {2}{5}$
বা, $5 \times (x - 1) = 2 \times (x + 5)$
বা, $5x - 5 = 2x + 10$
বা, $5x - 2x = 10 + 5$
বা, $3x = 15$
বা, $x = 5$
∴ লব = 5 হর = 5 + 3 = 8
∴ ভগ্নাংশটি হল $\frac {5}{8}$
উত্তর- সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি হল $\frac {5}{8}$ ।

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান | ভূগোল

2) আমাদের গ্রামের সালেমচাচা সরকারী চাকুরি থেকে অবসর গ্রহণ করার পর তার সঞ্চয়ের $\frac {1}{2}$ অংশ দিয়ে একটি বাড়ি কেনেন। হঠাৎ বিপদে পড়ে তিনি বাড়িটি বিক্রি করে কেনা দামের 5% বেশি পান। যদি তিনি বাড়িটি 3450 টাকা বেশি দামে বিক্রি করতেন তাহলে কেনা দামের উপর 8% বেশি পেতেন। সালেমচাচা কত টাকায় বাড়িটি কিনেছিলেন এবং তার সঞ্চয় কত ছিল?

সমাধান- ধরি, সালেমচাচা সঞ্চয় করেছিল $x$ টাকা।
তিনি বাড়ি কেনেন সঞ্চয়ের $\frac {1}{2}$ অংশ দিয়ে অর্থাৎ $x \times \frac {1}{2} = \frac {x}{2}$ টাকায়।
বাড়ির ক্রয়মূল্য $\frac {x}{2}$ টাকা।
বাড়িটি বিক্রি করে কেনা দামের 5% বেশি পান।
অর্থাৎ বিক্রয়মূল্য $= \frac {x}{2} \times \frac {5}{100}$
আবার তিনি 3450 টাকা বেশি দামে বিক্রি করে তিনি ক্রয়মূল্যের 8% বেশি পান
∴ তখন বিক্রয়মূল্য $= \frac {x}{2} \times \frac {8}{100}$
প্রশ্নানুসারে,
$\frac {x}{2} \times \frac {5}{100} + 3450 = \frac {x}{2} \times \frac {8}{100}$
বা, $\frac {x}{2} [\frac {5}{100} - \frac {8}{100}]= -3450$
বা, $\frac {x}{2} \times \frac {-3}{100} = -3450$
বা, $x = \frac {3450 \times 200}{3} = 1150 \times 200 = 230000$
উত্তর- সালেমচাচার সঞ্চয় ছিল 230000 টাকা এবং তিনি বাড়ি কেনেন $\frac {230000}{2} = 115000$ টাকা দিয়ে।

নীচের সমীকরণগুলির সমাধান দেখে নেব।

3) $\frac {x + 1}{2} - \frac {5x + 9}{28} = \frac {x + 6}{21} + 5 - \frac {x - 12}{3}$

সমাধান- $\frac {x + 1}{2} - \frac {5x + 9}{28} = \frac {x + 6}{21} + 5 - \frac {x - 12}{3}$

সমাধান করার সময় চলরাশিকে বামপাশে এবং ধ্রুবককে ডানপাশে রাখব।

বা, $\frac {x + 1}{2} - \frac {5x + 9}{28} - \frac {x + 6}{21} + \frac {x - 12}{3} = 5$
বা, $\frac {42 (x + 1) - 3 (5x + 9) - 4 (x + 6) + 28 (x - 12)}{84} = 5$
বা, $\frac {42x + 42 - 15x - 27 - 4x - 24 + 28x - 336}{84} = 5$
বা, $\frac {42x - 15x - 4x + 28x + 42 - 27 -24 - 336}{84} = 5$
বা, $\frac {70x - 19x + 42 - 387}{84} = 5$
বা, $\frac {51x - 345}{84} = 5$
বা, $51x - 345 = 5 \times 84 = 420$
বা, $51x = 420 + 345 = 765$
বা, $x = \frac {765}{51} = \frac {255}{17}$
বা, $x = 15$
উত্তর- নির্ণেয় সমাধান/ বীজ $x = 15$

4) $\frac {3y + 1}{16} + \frac {2y - 3}{7} = \frac {y + 3}{8} + \frac {3y - 1}{14}$

সমাধান- $\frac {3y + 1}{16} + \frac {2y - 3}{7} = \frac {y + 3}{8} + \frac {3y - 1}{14}$
বা, $\frac {3y + 1}{16} - \frac {y + 3}{8} = \frac {3y - 1}{14} - \frac {2y - 3}{7}$
বা, $\frac {(3y + 1) - 2(y + 3)}{16} = \frac {(3y - 1) - 2 (2y - 3)}{14}$
বা, $\frac {3y + 1 - 2y - 6}{16} = \frac {3y - 1 - 4y + 6}{14}$
বা, $\frac {3y - 2y - 6 + 1}{16} = \frac {3y - 4y + 6 - 1}{14}$
বা, $\frac {y - 5}{16} = \frac {-y + 5}{14}$
বা, $14 (y - 5) = 16 (-y + 5)$
বা, $14y - 70 = -16y + 80$
বা, $14y + 16y = 80 + 70$
বা, $30y = 150$
বা, $y = \frac {150}{80}$
বা, $y = 5$
উত্তর- নির্ণেয় সমীকরণের বীজ $y = 5$
সমাপ্ত