মিশ্রণ | Mixture

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: মিশ্রণ

আগের পর্বে আমরা শতকরা শিখেছি। এই পর্বে আমরা মিশ্রণ বুঝে নেব।

শুরুতেই তোমাদের উদাহরণস্বরূপ একটা গল্প বলি।

বাড়িতে আজকে কিছু অতিথি আসবেন। মা তাই তাদের জন্য রঙিন শরবত তৈরী করছেন। রঙিন শরবত বানানোর জন্য মা প্রথমে গ্লাসে জল নিয়ে তার মধ্যে অল্প পরিমাণ রঙিন তরল মিশিয়ে ভালো ভাবে নাড়িয়ে দিয়ে তৈরী করছে রঙিন শরবত।

মনে করি, রঙিন শরবত তৈরী করা হয়েছে জল ও রঙিন তরল 4 : 1 অনুপাতে অর্থাৎ 4 ভাগ জল ও 1 ভাগ রঙিন তরল মিশিয়ে শরবত তৈরী হয়েছে।

অর্থাৎ রঙিন শরবতে, জলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {4}{4+1} = \frac {4}{5}$

রঙিন তরলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {1}{4+1} = \frac {1}{5}$

মিশ্রণ কাকে বলে?

যখন এক ধরনের তরল / কঠিন পদার্থ অন্য ধরনের তরল / কঠিন পদার্থের সাথে মেশানো হয় সেই প্রক্রিয়াকে মিশ্রণ বলে।

রঙিন শরবতের মোট পরিমাণ জানা থাকলে তার মধ্যে জলের পরিমাণ ও রঙিন তরলের পরিমাণ কতটা আছে তা আমরা নির্ণয় করতে পারব।

মিশ্রণের কিছু গাণিতিক উদাহরণ

প্রথম উদাহরণ

1) 36 লিটার ডেটল–জল তৈরী করলাম যাতে ডেটল ও জলের পরিমাণের অনুপাত 1 : 5; ওই ডেটল জলে আর কতটুকু ডেটল মেশালে ডেটল ও জলের পরিমাণের অনুপাত 3 : 1 হবে?

সমাধান- ডেটল–জলের পরিমাণ 36 লিটার
জল ও ডেটলের অনুপাত 5 : 1
∴ ডেটল–জলে, জলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {5}{5+1} = \frac {5}{6}$
ডেটল–জলে, ডেটলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {1}{5+1} = \frac {1}{6}$
∴ ডেটল–জলে, জলের পরিমাণ $= 36 \times \frac {5}{6} = 30$ লিটার
ডেটলের পরিমাণ $= 36 \times \frac {1}{6} = 6$ লিটার
মনে করি, আর x লিটার ডেটল মেশাতে হবে।
জলের পরিমাণ = 30 লিটার
আগে, ডেটলের পরিমাণ ছিল 6 লিটার
এখন আর x লিটার ডেটল মেশানো হয়েছে।
∴ ডেটলের মোট পরিমাণ = (6 + x) লিটার।

প্রশ্নানুসারে,
$\frac {30}{6 + x} = \frac {3}{1}$
বা, 3 × (6 + x) = 30 × 1
বা, 18 + 3x = 30
বা, 3x = 30 – 18 = 12
বা, x $= \frac {12}{3} = 4$
উত্তর- আর 4 লিটার ডেটল মেশাতে হবে।

দ্বিতীয় উদাহরণ

2) এক ধরনের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত 5 : 2; এই ধরনের 28 কিগ্রা পিতলে 4 কিগ্রা তামা মেশালে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে?

সমাধান- পিতলে, তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত 5 : 2
পিতলের পরিমাণ 28 কিগ্রা
∴ পিতলে, তামার আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {5}{5+2} = \frac {5}{7}$
পিতলে, দস্তার আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {2}{5+2} = \frac {2}{7}$
∴ পিতলে, তামার পরিমাণ $28 \times \frac {5}{7} = 20$ কিগ্রা
পিতলে, দস্তার পরিমাণ $28 \times \frac {2}{7} = 8$ কিগ্রা
আগে তামার পরিমাণ ছিল 20 কিগ্রা

এখন আর 4 কিগ্রা তামা মেশানো হল।
∴ মোট তামার পরিমাণ = (20 + 4) কিগ্রা
= 24 কিগ্রা
∴ নতুন মিশ্রণে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = 24 : 8
= 3 : 1
উত্তর- তামা ও দস্তার অনুপাত হবে 3 : 1।

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

তৃতীয় উদাহরণ

3) এক ধরনের জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত 4 : 3 : 2; এই ধরনের 54 কিগ্রা জার্মান সিলভারে আর কত কিগ্রা দস্তা মেশালে সেই পরিমাণের অনুপাত 6 : 5 : 3 হবে?

সমাধান- জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত 4 : 3 : 2
জার্মান সিলভারের পরিমাণ 54 কিগ্রা
∴ জার্মান সিলভারে, তামার আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {4}{9}$
দস্তার আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {3}{9}$
ও নিকেলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {2}{9}$
∴ জার্মান সিলভারে, তামার পরিমাণ $54 \times \frac {5}{9}$ কিগ্রা = 24 কিগ্রা
দস্তার পরিমাণ $54 \times \frac {3}{9}$ কিগ্রা = 18 কিগ্রা
নিকেলের পরিমাণ $54 \times \frac {2}{9}$ কিগ্রা = 12 কিগ্রা
ধরি, আর x কিগ্রা দস্তা মেশাতে হবে।
∴ এখন নতুন মিশ্রণে দস্তার পরিমাণ = (18 + x) কিগ্রা
∴ নতুন মিশ্রণে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত 24 : (18 + x)
প্রশ্নানুসারে,
$\frac {24}{18 + x} = \frac {6}{5}$
বা, 6 × (18 + x) = 24 × 5
বা, 108 + 6x = 120
বা, 6x = 120 – 108
বা, 6x = 12
বা, x $= \frac {12}{2}$
বা, x = 2
উত্তর- জার্মান সিলভারে, 4 কিগ্রা দস্তা মেশাতে হবে।

চতুর্থ উদাহরণ

4) দুই প্রকার গুঁড়ো–সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 3 এবং 4 : 5; যদি প্রথম প্রকারের 10 কিগ্রা এর সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের 18 কিগ্রা মেশানো হয়, তবে নতুন গুঁড়ো সাবানে কত অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে?

সমাধান- প্রথম প্রকার গুঁড়ো–সাবানে, সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত 2 : 3
∴ প্রথম প্রকার গুঁড়ো–সাবানে,
সোডার আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {2}{2+3} = \frac {2}{5}$
সাবান গুঁড়োর আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {3}{2+3} = \frac {3}{5}$
প্রথম প্রকার গুঁড়ো–সাবানের পরিমাণ 10 কিগ্রা
∴ প্রথম প্রকার গুঁড়ো–সাবানে, সোডার পরিমাণ $= 10 \times \frac{2}{5}$ কিগ্রা = 4 কিগ্রা
প্রথম প্রকার গুঁড়ো–সাবানে, সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $= 10 \times \frac{3}{5}$ কিগ্রা = 6 কিগ্রা
দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো–সাবানে,
সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত 4 : 5
দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো–সাবানে,
সোডার আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {4}{9}$
সাবান গুঁড়োর আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {5}{9}$
∴ দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো–সাবানের পরিমাণ 18 কিগ্রা
∴ দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো–সাবানে,
সোডার পরিমাণ $= 18 \times \frac{4}{9}$ কিগ্রা = 8 কিগ্রা
সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $= 18 \times \frac{5}{9}$ কিগ্রা = 10 কিগ্রা।
প্রথম প্রকার 10 কিগ্রা গুঁড়ো সাবান ও দ্বিতীয় প্রকার 18 কিগ্রা গুঁড়ো সাবান মেশানো হল।
∴ মোট গুঁড়ো সাবান = (18 + 10) কিগ্রা = 28 কিগ্রা।
নতুন মিশ্রণে, সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = (6 + 10) কিগ্রা = 16 কিগ্রা
উত্তর- নতুন গুঁড়ো–সাবানে, সাবান গুঁড়োর পরিমাণ $= \frac {16}{28} = \frac {4}{7}$ অংশ

পঞ্চম উদাহরণ

5) দু–প্রকার স্টেনলেস স্টীলে, ক্রোমিয়াম ও স্টীলের পরিমাণের অনুপাত 2 : 11 এবং 5 : 21। এই দু–প্রকার স্টেনলেস স্টীল কী অনুপাতে মেশালে নতুন স্টেনলেস স্টীলে, ক্রোমিয়াম ও স্টীলের অনুপাত 7 : 32 হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান- প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টীলে,
ক্রোমিয়াম ও স্টীলের পরিমাণের অনুপাত 2 : 11
∴ প্রথম প্রকার স্টেনলেস স্টীলে, ক্রোমিয়ামের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {2}{13}$
স্টীলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {11}{13}$
দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টীলে,
ক্রোমিয়াম ও স্টীলের পরিমাণের অনুপাত 5 : 21
∴ দ্বিতীয় প্রকার স্টেনলেস স্টীলে, ক্রোমিয়ামের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {5}{26}$
স্টীলের আনুপাতিক ভাগ হার $= \frac {21}{26}$
ধরি, এই দু–প্রকার স্টেনলেস স্টীল x : y অনুপাতে মেশাতে হবে।
∴ x প্রকার প্রথম স্টেনলেস স্টীলে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণ $= \frac {2x}{13}$
স্টীলের পরিমাণ $= \frac {11x}{13}$
y প্রকার দ্বিতীয় স্টেনলেস স্টীলে,
ক্রোমিয়ামের পরিমাণ $= \frac {5y}{26}$
স্টীলের পরিমাণ $= \frac {21y}{26}$
∴ x প্রকার ও y প্রকার মিশিয়ে নতুন প্রকার স্টেনলেস স্টীলে,
ক্রোমিয়াম $= (\frac {2x}{13} + \frac {5y}{26})$
স্টীল $= (\frac {11x}{13} + \frac {21y}{26})$
প্রশ্নানুসারে,
$\frac {\frac {2x}{13} + \frac {5y}{26}} {\frac {11x}{13} + \frac {21y}{26}} = \frac {7}{32}$
বা, $\frac {\frac {4x + 5y}{26}} {\frac {22x + 21y}{26}} = \frac {7}{32}$
বা, $\frac {(4x + 5y)}{(22x + 21y)} = \frac {7}{32}$
বা, 7 × (22x + 21y) = 32 × (4x + 5y)
বা, 154x + 147y = 128x + 160y
বা, 154x – 128x = 160y – 147y
বা, 26x = 13y
বা, $\frac {x}{y} = \frac {13}{26}$
বা, $\frac {x}{y} = \frac {1}{2}$
বা, x : y = 1 : 2
উত্তর- 1 : 2 অনুপাতে দু–প্রকার স্টীল মেশাতে হবে।