real-number
WB-Class-9

বাস্তব সংখ্যা (Real Number)

গণিতনবম শ্রেনি – বাস্তব সংখ্যা (প্রথম পর্ব)


বাস্তব সংখ্যা’ – শব্দটির মধ্যেই এর অর্থ লুকিয়ে রয়েছে। অর্থাৎ বাস্তবে যে ধরনের সংখ্যার অস্তিত্ব রয়েছে তাই হল বাস্তব সংখ্যা বা Real Numbers।

তোমাদের মনে নিশ্চয়ই প্রশ্ন আসছে, যে বাস্তবে ঠিক কি কি ধরনের সংখ্যার অস্তিত্ব আছে?

খুব সহজভাবে সেগুলো তোমাদের বোঝানোর চেষ্টা করব, চলো দেখা যাক…

স্বাভাবিক সংখ্যা

মনে করো, তোমার বাবা বাজার থেকে কিছু জিনিস কিনে আনলেন। এখন সব জিনিসের দাম তো এক নয়, তুমি একটা খাতার পাতায় বাবার বাজার করা জিনিসগুলির দাম লিখে নিলে।

  • নুনঃ 15 টাকা
  • হলুদঃ 25 টাকা
  • চাঃ 35 টাকা
  • চালঃ 30 টাকা

এই 15, 25, 35, 30 এই ধরনের সংখ্যাগুলোকে বলা হয় স্বাভাবিক সংখ্যা বা Natural Numbers এবং এদেরকে সাধারণত ইংরাজির N দ্বারা সূচীত করা হয়।

তাহলে বোঝা গেল যে স্বাভাবিক সংখ্যাগুলি হলঃ 1,2,3, …… ইত্যাদি।

jump-magazine-subscription

অখণ্ড সংখ্যা

এখন তোমরা লক্ষ করো, কোনো জিনিসের দাম কখন শূন্য হওয়া সম্ভব নয়, তবে ‘0’ কি স্বাভাবিক সংখ্যা নয়?

উত্তরটা হবে, না, শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। 0 হলো অখণ্ড সংখ্যা।

0, 1, 2, 3, ……… এই সমস্ত সংখ্যাগুলোকে বলা হয় অখণ্ড সংখ্যা বা Whole Numbers এবং এদের সূচীত করা হয় ‘W’  দিয়ে।

এখন তোমরা নিজেরা কয়েকটা বিষয় খেয়াল করো…

যদি দুটি বা তার অধিক অখণ্ড সংখ্যা যোগ অথবা গুন করা হয়, তবে আমরা একটি অখণ্ড সংখ্যাই পাবো।

যেমনঃ-  0+5=5, 5+6=11 অথবা, 0 × 7=0, 2 × 4 × 2 = 16 ইত্যাদি।

কিন্তু,তোমরা লক্ষ করো, দুটি অখণ্ড সংখ্যা বিয়োগ করলে কিছু ক্ষেত্রে এমন কিছু সংখ্যা আমরা পাব যেগুলিকে আমরা অখণ্ড সংখ্যা বলে চিহ্নিত করতে পারবো না।

যেমনঃ- 0-10 = -10, 5-14=-9  ইত্যাদি।

তাহলে এগুলো কি ধরনের সংখ্যা?

চলো, এর উত্তর খোঁজা যাক।


[আরো পড়ুন – নবম শ্রেণি – ভৌত বিজ্ঞান | নবম শ্রেণি – জীবন বিজ্ঞান | নবম শ্রেণি – গণিত ]

পূর্ণ সংখ্যা

অখণ্ড সংখ্যা এবং -1,-2,-3,…….সংখ্যাগুলোকে একসাথে বলা হয় পূর্ণসংখ্যা বা Integers এবং এই সংখ্যাগুলিকে সাধারণত ‘Z’ দ্বারা সূচীত করা হয়।

‘0’ অপেক্ষা বড় পূর্ণসংখ্যাগুলিকে বলা হয় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং ছোট পূর্ণসংখ্যাগুলিকে বলা হয় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

এখন ঠিক আগের মতই তোমরা খেয়াল করে দেখ, দুটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল, বিয়োগফল এবং গুনফল সর্বদা একটি পূর্ণসংখ্যা…

কিন্তু,যদি আমি দুটি সংখ্যা ভাগ করি তবে?

তখন কিন্তু \frac{2}{3},\frac{5}{9},\frac{6}{5}, এই ধরনের সংখ্যা পাব, যেগুলো পূর্ণসংখ্যার মধ্যে পড়েনা, এই সংখ্যাগুলিকে বলা হয় মুলদ সংখ্যা। এবার আমরা মুলদ সংখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিত জেনে নেব।

Jump_Plus_digital_mock_test_X2_web_banner

মূলদ সংখ্যা

যে সকল সংখ্যাকে \frac{p}{q} আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q \neq 0, সেগুলিকেই আমরা বলি মূলদ সংখ্যা বা Rational Numbers এবং এদের সূচিত করা হয় ‘Q’ দ্বারা।

তাহলে সকল পূর্ণসংখ্যাই কি মূলদ সংখ্যা?

উত্তরটা হবে হ্যাঁ, সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা কারণ আমরা যে কোনো পূর্ণসংখ্যাকে \frac{n}{1} আকারে প্রকাশ করতে পারি, যেখানে ‘n’ একটি পূর্ণসংখ্যা।

মূলদ সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু তথ্য-

(i)  দুটি মূলদ সংখ্যার মাঝে একটি মূলদ সংখ্যা সর্বদা বর্তমান, উদাহরণ স্বরূপ বলা যায়, যদি a ও b দুটি মুলদ সংখ্যা হয়, যেখানে a<b  তবে \frac{a+b}{2} ও একটি মুলদ সংখ্যা হবে।

(ii) ওপরের তথ্যের অপর ভিত্তি করে আমরা এটাও বলতে পারি যে, দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে ‘অসংখ্য’ মূলদ সংখ্যা অবস্থিত।

(iii) দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করলে আমরা সর্বদাই একটি মূলদ সংখ্যাই পাবো।


[আরো পড়ুন – নবম শ্রেণি – বাংলা | নবম শ্রেণি – ইতিহাস | নবম শ্রেণি – ভূগোল]

অমূলদ সংখ্যা

এতক্ষণ আমরা যে সমস্ত সংখ্যা সম্পর্কে জানলাম, সেই সমস্ত সংখ্যা ছাড়াও কিছু সংখ্যার অস্তিত্ব আছে যেগুলিকে আকারে প্রকাশ করা যায়না, সেই সমস্ত সংখ্যাসমূহকে বলা হয় অমূলদ সংখ্যা বা Irrational Numbers।

অমূলদ সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু তথ্য

(i)মূলদ সংখ্যার মতই  এক্ষেত্রেও দুটি অমূলদ সংখ্যার মাঝে ‘অসংখ্য’ অমূলদ সংখ্যা অবস্থিত।

(ii)দুটি অমূলদ সংখ্যাকে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ সর্বদা অমূলদ সংখ্যা নাও হতে পারে। যেমনঃ- \sqrt{3}+ (-\sqrt{3})=0 , \sqrt{3} - \sqrt{3}=0

[গুণ ও ভাগের ক্ষেত্রে কি হবে তা নিজেরা খোঁজার চেষ্টা করো]।

যে কোনো দুটি বাস্তব সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ(যেখানে ভাজক শূন্য নয়) করলে সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা পাওয়া যায়…এসো একটি সহজ উদাহরণের মাধ্যমে দেখা যাক

ধরা যাক,   4\sqrt{3}\sqrt{3} দুটি বাস্তব সংখ্যা। যেখানে,  4\sqrt{3}+ \sqrt{3}=5\sqrt{3}, 4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}4\sqrt{3}\times\sqrt{3}=12 ও  4\sqrt{3}\div \sqrt{3}=4

অর্থাৎ দেখা গেল যে, প্রতিক্ষেত্রেই আমরা একটি করে বাস্তব সংখ্যা পেলাম।

 বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু নিয়মাবলী

ধরা যাক, x, y ও z তিনটি বাস্তব সংখ্যা তবে,

(i) (x+y)+z=x+(y+z) [যোগের সংযোগ নিয়ম]

(ii) x+y = y+x [যোগের বিনিময় নিয়ম]

(iii) x+0 = 0+x = x [0-কে যোগের একসম উপাদান (additive identity) বলে ]

(iv) x+(-x) = 0 = (-x)+x [(-x)-কে যোগের সাপেক্ষে x এর বিপরীত উপাদান (additive inverse) বলে]

(v) (x × y) × z = x × (y × z) [গুণের সংযোগ নিয়ম]

(vi) x × y = y × x [গুণের বিনিময় নিয়ম]

(vii) x × 1=1 × x = x [1-কে গুণের একসম উপাদান (multiplicative identity) বলে]

(vii) x × \frac{1}{x} =1 = \frac{1}{x} × x [\frac{1}{x}-কে গুণের সাপেক্ষে এর বিপরীত উপাদান (multiplicative inverse) বলে]

(ix) x ( y+z ) = xy + xz এবং (x+y) z = xz + yz  [বিচ্ছেদ নিয়ম]

বাস্তব সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যাতে বিস্তার

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা অর্থাৎ মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিকে বিস্তার করা যায়। যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে বিস্তার করলে আমরা ‘সসীম দশমিক সংখ্যা অথবা ‘আবৃত দশমিক সংখ্যা’ পাবো এবং যেকোনো অমূলদ সংখ্যাকে বিস্তার করলে আমরা ‘অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যা’ পাবো।

সসীম দশমিক সংখ্যা

কিছু মূলদ সংখ্যাকে বিস্তার করলে ভাগফল একটি দশমিক সংখ্যা হয় এবং ভাগশেষ শূন্য হয়, সেই সমস্ত সংখ্যাগুলি সসীম দশমিক সংখ্যা হিসাবে গণ্য করা হয়। এই সমস্ত মূলদ সংখ্যার হরের মৌলিক উৎপাদকে কেবলমাত্র 2 এবং 5 থাকে। যেমনঃ- \frac{5}{16}, \frac{7}{50} ইত্যাদি।

আবৃত দশমিক সংখ্যা

কিছু মূলদ সংখ্যাকে বিস্তার করলে ভাগশেষ শূন্য হয় না এবং দশমিকের পর সংখ্যাগুলির পুনরাবৃতি ঘটে, সেই সমস্ত সংখ্যাগুলিকে বলা হয় আবৃত দশমিক সংখ্যা। এদের হরের মৌলিক উৎপাদকে 2 এবং 5 ছাড়াও আরও সংখ্যা থাকে। যেমনঃ- \frac{8}{9}, \frac{3}{35} ইত্যাদি।

অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যা

যেকোনো অমূলদ সংখ্যাকে বিস্তার করলে আমরা যে ধরনের সংখ্যা পাবো সেগুলির ক্ষেত্রে ভাগশেষ কখনই শূন্য নয় এবং এরা আবৃত ও নয়। তাই এদের বলা হয় অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যা। যেমনঃ- \sqrt{2} , \sqrt{5} ইত্যাদি।

প্রথম পর্ব সমাপ্ত।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

lekha-pora-shona-facebook-group

 

Leave a Reply