আর্কিমিডিসের সূত্র

ভৌতবিজ্ঞান – নবম শ্রেণি – অধ্যায়: পদার্থঃ গঠন ও ধর্ম (তৃতীয় পর্ব)

আর্কিমিডিসের সূত্রটি জানার আগে, আমার মনে হয় কিভাবে আর্কিমিডিস তাঁর সূত্রটি পেয়েছিলেন সেটা জানা আগে প্রয়োজন।

গল্পটা বোধ হয় সকলেরই জানা, তবুও বলি। আর্কিমিডিসকে তাঁর দেশের রাজা একটা সোনার মুকুট দিয়ে বলেছিলেন মুকুটে থাকা সোনার শুদ্ধতা বিচার করতে।

আর্কিমিডিস বিষয়টি নিয়ে ভাবতে ভাবতেই ঢুকেছেন স্নান ঘরে এবং নামলেন কানায় কানায় জল পূর্ণ একটি বাথটবে। তিনি বাথটবে নামার সাথে সাথেই খেয়াল করলেন যে কিছুটা জল উপচে পড়ে গেল এবং জলে ডোবা অবস্থায় তাঁর শরীরটা সাধারণ অবস্থার চেয়ে অনেক হালকা লাগছে।

এই ঘটনা হয়তো আগেও তাঁর সঙ্গে বহুবার ঘটেছে কিন্তু ঐ দিন তাঁর মাথায় থাকা চিন্তার সঙ্গে বাস্তব পরিস্থিতি সম্পূর্ণ মিলে গিয়েছিল এবং তিনি ‘ইউরেকা’ বলে চিৎকার করতে করতে সোজা চলে গিয়েছিলেন রাজার কাছে উপায়টি বলতে।

কিন্তু উপায়টা যে কি সেটা এখনও পরিষ্কার নয়, তাই তো?

আসলে আর্কিমিডিস বুঝে ছিলেন যে কানায় কানায় জলপূর্ণ বাথটবে নামলে যে পরিমাণ জল উপচে পড়ে যায় তা তাঁর দেহের আয়তনের সঙ্গে সমান এবং তাঁর শরীর জলের মধ্যে হাল্কা লাগার কারণ জলের দ্বারা তাঁর শরীরের উপর উর্দ্ধমূখী বল প্রয়োগ। এই বলের পরিমাণ কত বা এর উপর বিভিন্ন বিষয়ের নির্ভরশীলতা আমরা পরে আলোচনা করবো।

যাই হোক, এটা বোঝা গেল যে একইভাবে কোনো বস্তুকে আংশিক বা সম্পূর্ণ রূপে কোনো তরলে নিমজ্জিত করলে বস্তুটি তার নিমজ্জিত অংশের সম পরিমাণ জল অপসারণ করে যা থেকে বস্তুর নিমজ্জিত অংশের আয়তন নির্ণয় সম্ভব।

এমন মুকুটের প্রসঙ্গে বলা যায় যে একই ভাবে মুকুটের আয়তন নির্ণয় করে ঐ আয়তন দ্বারা মুকুটের ভরকে ভাগ করলেই আমরা মুকুটে থাকা পদার্থের ঘনত্ব পেয়ে যাব। আর্কিমিডিসও সেটাই করেছিলেন। তিনি মুকুটের পদার্থের ঘনত্ব এবং আসল সোনার ঘনত্ব তুলনা করেই মুকুটের শুদ্ধতা যাচাই করেছিলেন।

সুতরাং গল্পের নীতি কথা বা আর্কিমিডিসের সূত্রটি হল –

কোনো বস্তুকে কোনো তরলের মধ্যে (বস্তুকে তরলে অদ্রাব্য হতে হবে) আংশিক বা সম্পূর্ণরূপে নিমজ্জিত করলে বস্তুটি তার নিমজ্জিত অংশের সমআয়তন তরল অপসারণ করে এবং অপসারিত তরলের যা ওজন (এক্ষেত্রে ওজন হল অভিকর্ষের কারণে সৃষ্ট বল) সেই ওজনের বল তরলটি বস্তুর উপর উর্দ্ধমূখে প্রয়োগ করে।

ধরা যাক কোন বস্তুর আয়তন = v এবং বস্তুটিকে সম্পূর্ণ ভাবে কোন তরলে নিমজ্জিত করা হয়েছে। সুতরাং অপসারিত তরলের আয়তন = v এখন তরলের ঘনত্ব ধরি ‘d’ সুতরাং অপসারিত তরলের ভর (m_w) = অপসারিত তরলের আয়তন × ঐ তরলের ঘনত্ব

বা, m_w= (v × d)

যেহেতু তরল কর্তৃক প্রযুক্ত উর্দ্ধমুখী বলের পরিমাণ এই অপসারিত তরলের ওজনের সমান সুতরাং নির্নেয় বল = m_w× g [এক্ষেত্রে g = অভিকর্ষজ ত্বরণ]

= (v × d × g)

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

উল্লেখ্য যে, এই উর্দ্ধমুখী বলই প্লবতা বল নামে পরিচিত।

প্লবতা বলের কারণেই কোনো বস্তু তরলে ভেসে থাকতে পারে।

সুতরাং এখন আমরা যে বিষয়ে আলোচনা করবো তা হল কোনো তরলে বস্তুর ভাসন বা নিমজ্জনের শর্ত।

ধরা যাক m ভরের একটি বস্তুকে কোন তরলে নিমজ্জিত করা হল। বস্তুটি নিমজ্জিত অবস্থায় ‘v’ আয়তন তরল অপসারণ করে।

এই অবস্থায় বস্তুর উপর অভিকর্ষজনিত নিম্মমূখী বল = m × g

আবার আর্কিমিডিসের সূত্রানুসারে বস্তুর উপর প্রযুক্ত উর্দ্ধমূখী বল = v × d × g

সুতরাং বস্তু যদি তরলে ভেসে থাকে তবে v × d × g > m × g — (d)

এখন ধরে নেওয়া যাক বস্তুটিকে তরলে সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করা হয়েছে। সুতরাং বস্তু কর্ত্তৃক অপসারিত তরলের যা আয়তন অর্থাৎ ‘v’ বস্তুটিরও আয়তন।

সুতরাং বস্তুটির ঘনত্ব Ρ (রো) ধরলে m = Ρv

সুতরাং m এর মান ‘d’ সম্পর্কে বসিয়ে পাই –

v × d × g > P × v × g

বা, d > P

অর্থাৎ যে তরলে কোনো বস্তুকে নিমজ্জিত করা হচ্ছে তার ঘনত্ব (d) যদি বস্তুর ঘনত্ব (P) অপেক্ষা বেশি হয়, তাহলে অত্যন্ত স্বাভাবিকভাবেই বস্তু তরলে ভেসে থাকতে পারে।

এই কারণে মানুষ ছাড়া সকল প্রাণীরাই প্রায় সহজাতভাবে জলে সাঁতার কাটতে পারে। কারণ মানুষ ছাড়া সকল প্রাণীদের মস্তিষ্কের ঘনত্ব জলের ঘনত্ব অপেক্ষা কম ফলে মাথাটি স্বভাবতই জলের উপরে ভেসে থাকে। তাই দেহটি জলে ডুবে থাকলেও শ্বাস প্রশ্বাস নিতে বা অন্যান্য শারীরবৃত্তীয় কাজ চালাতে কোনো অসুবিধা হয় না।

কিন্তু মানুষের ক্ষেত্রে মাথার ঘনত্ব জলের ঘনত্ব অপেক্ষা বেশি হওয়ার তা জলে ডুবে যেতে চায় কিন্তু শরীর জলে ভেসে থাকে। ফলে মানুষকে জলে মাথা ভাসিয়ে রাখার কৌশল আয়ত্ত করতে হয়, একারণেই সাঁতার শিখতে হয়।

তবে এ প্রসঙ্গে একটা কথা উল্লেখ করা দরকার যে, কোনো বস্তু সম আয়তনের তরল অপেক্ষা হাল্কা হলেও তা ঐ তরলে ভাসবে কারণ আমরা আগেই জেনেছি ভাসণের শর্ত হিসাবে যে তরলের ঘনত্ব > বস্তুর ঘনত্ব এখন উভয়, পক্ষেই সমআয়তন (v) দ্বারা গুণ করে পাই →

V × তরলের ঘনত্ব > V × বস্তুর ঘনত্ব

বা, V আয়তন তরলের ভর > v আয়তন বস্তুর ভর

অর্থাৎ, সমআয়তনের বস্তু তরল অপেক্ষা হাল্কা হলেই তা ভাসবে।

এবার একটা সমস্যার কথা ভাবা যাক।

একটি বরফ খন্ড একটি কনায় কানায় পূর্ন গ্লাসের জলে ভাসছে। বরফ খন্ডটি এই অবস্থায় গলে গেলে জল কি গ্লাস থেকে পড়ে যাবে?

আমরা জানি বরফ যখন জলে ভাসে তখন তার 11 ভাগের দশভাগ জলে ডুবে থাকে এবং এক ভাগ জলের উপরে থাকে। তাই বরফ নিজ আয়তনের 10 ভাগের সমতুল্য আয়তনের জল অপসারণ করে। ফলে বরফ গলে গেলে এই পরিমাণ জল আর আপসারিত হবে না।

তাছাড়া বরফ থেকে জলে পরিণত হলে বরফখণ্ডটির নিজেরও আয়তন কমবে। তাই প্রশ্নে উক্ত গ্লাসটি থেকে জল উপচে না পড়ে তার তলদেশ বরং কিছুটা নেমে যাবে।

এ প্রসঙ্গে একটা প্রশ্ন বিশেষভাবে উল্লেখ্য, সেটা হল,

একটা লোহার বল জলে ডুবে যায়, কিন্তু তার চেয়ে বহুগুণ ভারী লোহার জাহাজ জলে ভাসে, কিংবা উক্ত বলটিকে যদি পিঠিয়ে পাতলা পাতের কড়াই তৈরী করা হয় তাহলে জলে ভাসতে পারে। এর কারণ কি?

উত্তর হিসাবে বলা যায় যে লোহার বল যে পরিমাণ জল অপসারণ করে, সেটিকে পিটিয়ে পাতলা পাতের কড়াই তৈরী করলে সেটি পূর্বের চেয়ে অনেকগুন বেশি জল অপসারণ করে যেহেতু তার আয়তন অনেক বেড়ে যায়।

যেহেতু উর্দ্ধমূখী প্লবতা বল নির্ভর করে কি পরিমাণ তরল অপসারিত হচ্ছে তার উপর ফলে লোহার বল অপেক্ষা কড়াই এর উপর উর্দ্ধমূখী প্লবতা বলের পরিমাণ বৃদ্ধি পাওয়ায় সেটি ভেসে থাকে। একই ঘটনা জাহাজ ভাসানের ক্ষেত্রেও ঘটে থাকে।

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

আপেক্ষিক গুরুত্ব

আমরা ভাসনের শর্তে আগেই জেনেছি যে সমআয়তন কোনো তরল অপেক্ষা কোনো বস্তু যদি ভারী বা হাল্কা হয় তবে তা নিমজ্জিত বা ভাসতে পারবে। এই ধারনার উপর ভিত্তি করেই আপেক্ষিক গুরুত্বের সংজ্ঞা নির্ধারন করা হয়।

আপেক্ষিক গুরুত্ব বলতে বোঝায় কোনো বস্তু তার সমআয়তন 4°C উষ্ণতার জল অপেক্ষা যত গুণভারী।

এক্ষেত্রে বলে রাখা ভালো যে 4°C উষ্ণতাতেই জলের ঘনত্ব সর্বাধিক অর্থাৎ এই উষ্ণতায় জল সবচেয়ে ভারী, আরও একটি কথা উল্লেখ্য যে, বস্তুর আপেক্ষিক গুরুত্ব যেহেতু দুটি একই রাশির অনুপাত তাই এটি এককহীন।

সুতরাং, ধরি বস্তুর ঘর = M এবং আয়তন v এবং জলের ঘনত্ব আমরা জানি 1 gm/c.m (4°C উষ্ণতায়)

সুতরাং, কোনো বস্তুর আপেক্ষিক গুরুত্ব = $\frac{M}{V\times 1 gm /cm^{3}}$

[যেহেতু 4°c উষ্ণতায় জলের ভর = উহার আয়তন × ঘনত্ব]

বা, কোনো বস্তুর আপেক্ষিক গুরুত্ব = $\frac{\frac{M}{V}}{1 gm /cm^{3}}$

এখন $\frac{M}{V}$ = বস্তুর ঘনত্ব (C.G.S এককে)

= বস্তুর C.G.S এককে ঘনত্বের সাংখ্যমান

আবার একটি গাণিতিক সমস্যার কথা ভাবা যাক –

4°c উষ্ণতায় কোনো বস্তুর ওজন একটি স্প্রিং ব্যালান্সে দেখাচ্ছে 5kg এই অবস্থায় বস্তুটিকে জলে নিমজ্জিত করলে স্প্রিং ব্যালান্সের পাঠ দেখায় 4.5 kg। বস্তুটির আপেক্ষিক গুরুত্ব নির্ণয় করো।

4°c উষ্ণতায় বস্তুর ওজন দেখাচ্ছে 5 kg

অর্থাৎ বস্তুটির ভর = 5 kg ও উহার জন্য নিম্নমুখী অভিকর্ষজ বল = (5 × 9.8) নিউটন।

একইভাবে জলে নিমজ্জিত করলে উহার ওজন হ্রাস পেয়ে হয় 4.5 kg বা (4.5 × 9.8) নিউটন।

সুতরাং বস্তু দ্বারা অপসারিত তরল যে পরিমাণ উর্দ্ধমুখী বল প্রয়োগ করে তা হল {(5 x 9.8) – (4.5 x 9.8)} N = 0.5 x 9.8 N

এখন আমরা জানি অপসারিত তরল দ্বারা প্রযুক্ত উর্দ্ধমূখী বল = অপসারিত তরলের আয়তন × উহার ঘনত্ব × অভিকর্ষজত্বরণ

= V × 1000 kg/m3 × 9.8 [∵4°c তে জলের ঘনত্ব = 1000 kg/m3]

∴ শর্তানুসারে, 0.5 × 9.8 = v × 1000 × 9.8

∴ v = $\frac{0.5}{1000} = \frac{5\times 10^{-3}}{10}= 5\times 10^{-4} \: m^{3}$

সুতরাং বস্তুর ঘনত্ব = $\frac{5 \: kg}{5\times 10^{-4} 3^{3}}$

= $1\times 10^{4} \: kg / m^{3}$

আমরা আগেই জেনেছি, বস্তুর আপেক্ষিক গুরুত্ব = বস্তুর ঘনত্ব / 4ºc তে জলের ঘনত্ব

= $\frac{1\times 10^{4} \: kg / m^{3}}{1000 \: kg / m^{3}}$

= $=\frac{10\times 10\times 10\times 10}{1000} = 10$

এবার আমরা পাস্কালের সূত্রের কিছু ব্যবহারিক প্রয়োগের বিষয়ে আলোচনা করবো।

পাস্কালের সূত্রটি সম্পর্কে আমরা আগেই ধারণা লাভ করেছি। সেটা হল কোনো প্রবাহীর যে কোনো অংশে চাপ প্রয়োগ করলেই তা ঐ প্রবাহীর প্রতিটি অংশেই সমান ভাবে সঞ্চরিত হয়।

পাস্কালের সূত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল হাইড্রলিক প্রেস।

এক্ষেত্রে একটি সরু প্রস্থচ্ছেদ (A) বিশিষ্ট ও একটি মোটা প্রস্থচ্ছেদ বিশিষ্ট (B) নল তলদেশ বরাবর যুক্ত থাকে। এক্ষেত্রে যেহেতু উভয় নলের তলদেশ সংযুক্ত থাকে ফলে A নলে প্রযুক্ত চাপ তরল দ্বারা B নলে সঞ্চরিত হয়।

এখন A নল অপেক্ষা B নলের প্রস্থচ্ছেদ বেশি হওয়ার মোট বা বলের পরিমাণ একই চাপ প্রযুক্ত হওয়া সত্ত্বেও ‘A’ অপেক্ষা ‘B’ নলে বেশি হয়। ফলে অল্প বল আমরা সরু নলে প্রয়োগ করে অধিক বল B নল থেকে পেতে পারি।

এবার একটা গাণিতিক সমস্যা কষে দেখা যাক, একটি 5000 kg ওজনের গাড়ি হাইড্রোলিক প্রেসের সাহায্যে তোলা হবে। হাইড্রোলিক প্রেসের মোটা বাহুর প্রস্থ চ্ছেদ 4m × 4x হলে মাত্র 2kg ওজন প্রয়োগ করে গাড়িটি তোলার জন্য সরু বাহুর প্রস্থচ্ছেদ কত হবে?

হাইড্রোলিক প্রেসের মোটা বাহুর উপরেই গাড়িটিকে বসিয়ে তোলা হবে।

সুতরাং ঐ বাহুতে প্রযুক্ত চাপ = ঐ বাহুতে গাড়ির দ্বারা নিম্নমুখীবল / ঐ বাহুর প্রস্থচ্ছেদ

= $\frac{5000\times 9.8}{4\times 4} N/m^{2}$

= $\left (\frac{1250}{4}\times 9.8 \right )\; N/m^{2}$

= $\left ( 312.5\times 9.8 \right ) N/m^{2}$

এই চাপই পাস্কালের সূত্রানুসারে সরু বাহুতে সঞ্চরিত হবে।

শর্তানুসারে, $\left ( 312.5\times 9.8 \right )$ = সরু বাহুতে প্রযুক্ত বল / সরু বাহুর প্রস্থচ্ছেদ

বা, সরু বাহুর প্রস্থচ্ছেদ = $\left ( \frac{2 kg \times 9.8}{3.2.5\times 9.8} \right ) kg/m^{2}$
বা, সরু বাহুর প্রস্থচ্ছেদ = $\left ( \frac{2}{3.2.5} \right ) m^{2}$