গোলক সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান

গণিত – দশম শ্রেণি – গোলক সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান

গত পর্বে আমরা গোলকের ধারণা সম্পর্কে আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা গোলক সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান বুঝে নেবো।

1) কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান – গ্যাস বেলুনটি ফোলানোর পূর্বে ব্যাসার্ধ = 7 cm
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 4\pi \times 7^2$ বর্গসেমি
গ্যাস বেলুনটি ফোলানোর পরে ব্যাসার্ধ = 21 cm
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 4\pi \times 21^2$ বর্গসেমি
∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
$= 4\pi \times 7^2 : 4\pi \times 21^2 = 1 : 9$ (উত্তর)

2) একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লেখ এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান- নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ $(r) = 2.1$ cm
∴ আয়তন $=\frac{4}{3} \times \pi \times (2.1)^3$ ঘনসেমি
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\times (2.1)^3$ ঘনসেমি $= 38.808$ ঘনসেমি
∴ গোলকটিতে লোহার পরিমাণ $= 38.808$ ঘনসেমি
গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 4\pi .(2.1)^2$ বর্গসেমি $= 55.44$ বর্গসেমি (উত্তর)

3) একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান- ধরি, ধাতব গোলকটির ব্যাসার্ধ $= R$ একক ও কেটে নেওয়া নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ $= r$ একক
∴ প্রশ্নানুসারে, $4\pi r^2 = \frac{1}{2}4\pi R^2$
∴ $R^2 = 2r^2$
∴ $R = \sqrt{2}r$

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

এখন, নতুন গোলকের আয়তন $= \frac{4}{3}\pi r^3$ ঘনএকক ও কেটে নেওয়ার পরে অবশিষ্ট গোলকের আয়তন
$= (\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3)$ ঘনএকক
$= \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$ ঘনএকক
$= \frac{4}{3} \pi (2\sqrt{2}r^3 - r^3)$ ঘনএকক [∵ $R = \sqrt{2}r$ ∴ $R^3 = 2\sqrt{2}r^3]$
$= \frac{4}{3}\pi r^3 (2\sqrt{2} - 1)$ ঘনএকক
∴ নির্ণেয় অনুপাত $=\frac{4}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3 (2\sqrt{2} – 1)$
$= 1 : (2\sqrt{2} - 1)$ (উত্তর)