বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যার সমাধান

গণিত – দশম শ্রেণি – বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা

আমরা এর আগের পর্বে বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা অধ্যায়টি নিয়ে আলোচনা করেছি, এই পর্বে বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা সম্পর্কিত কিছু গাণিতিক উদাহরণ আলোচনা করে নেব।

1. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফল সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত কত?
সমাধান- একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান
ধরি এদের উভয়েরই ব্যাসার্ধ $r$ একক
এবং চোঙের উচ্চতা $h$ একক
প্রশ্নানুসারে,
গোলকের আয়তন = চোঙের আয়তন
বা, $\frac{4}{3}\pi r^3= \pi r^2h$
বা, $\frac{4}{3}r=h$
বা, $4r=3h$
বা, $\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$
বা, $r : h = 3 : 4$
সুতরাং, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4 (উত্তর)

2. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান- একটি শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি চোঙের ভূমিতলের ব্যাস এবং উচ্চতা সমান
ধরি, ভূমিতলের ব্যাসার্ধ $r$ একক
উচ্চতা $h$ একক
প্রশ্নে প্রদত্ত ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা ও সমান তাই $r = h$
এবার শঙ্কুটির আয়তন $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
$=\frac{1}{3} \pi r^2\times r$ [ $r = h$ ]
$=\frac{1}{3}\pi r^3$
নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন $\frac{2}{3}\pi r^3$
আবার চোঙের আয়তন $\pi r^2h=\pi r^2 \times r=\pi r^3$
একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত
$\frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3$
$=\frac{1}{3} : \frac{2}{3} : 1$
$=\frac{1}{3}\times 3 : \frac{2}{3}\times3 : 1\times3$
$=1 : 2 : 3$
নির্ণেয় একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত $1 : 2 : 3$ (উত্তর)

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

3. 6.6 ডেসিমি দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ডেসিমি ধাতু থাকবে?
সমাধান- একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার 6.6 ডেসিমি দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি পুরু (বেধ)
তামার আয়তঘনকটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × বেধ = 6.6 × 4.2 × 1.4 = 38.808 ঘনডেসিমি
আবার, গোলকের ব্যাস 2.1 ডেসিমি
গোলকের ব্যাসার্ধ $\frac{2.1}{2}$ ডেসিমি
প্রতিটি গোলকের আয়তন $\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (\frac{2.1}{2})^3$ ঘনডেসিমি
$=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times \frac{2.1}{2}\times \frac{2.1}{2}\times\frac{2.1}{2}=4.851$ ঘনডেসিমি
গোলকের সংখ্যা = আয়তঘনকটির আয়তন \গোলকের আয়তন = $\frac{38.808}{4.851}=8$
সুতরাং, 8 টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে 4.851 ডেসিমি ধাতু থাকবে। (উত্তর)

4. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে লগটিকে যদি একটি লম্ববৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘনমিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে?
[ উত্তর সংকেতঃ বর্গাকার চিত্রের অন্তরলিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান।]
সমাধান- আয়তঘনাকার কাঠের উচ্চতা 2 মিটার
বর্গাকার হওয়ায় প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি = $\frac{14}{10}$ মিটার=1.4 মিটার
আয়তঘনাকার কাঠের আয়তন= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা ঘনমিটার
= 1.4 × 1.4 × 2 = 3.92 ঘনমিটার
লম্ববৃত্তাকার গুড়ির ব্যাসার্ধ = $\frac{1.4}{2}=0.7$ মিটার
লম্ববৃত্তাকার গুড়ির উচ্চতা 2 মিটার
লম্ববৃত্তাকার গুড়ির আয়তন = $\pi r^2 h$ ঘনমিটার
$=\pi (0.7)^2\times 2$ ঘনমিটার
$=\frac{22}{7}\times0.7\times0.7\times2$ ঘনমিটার
$=22\times0.1\times0.7\times 2$ ঘনমিটার = 3.08 ঘনমিটার
কাঠ নষ্ট হবে $(3.92 – 3.08) = 0.84$ ঘনমিটার
লম্ববৃত্তাকার গুড়িতে 3.08 ঘনমিটার কাঠ থাকবে এবং 0.84 ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে। (উত্তর)