বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ

শুভ দেশলাই কাঠি দিয়ে বর্গক্ষেত্র বানাবে বলে ঠিক করেছে।

সে ছোটবেলায় পড়েছে বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু থাকে এবং চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান হয়। তাহলে সে মনে মনে ভাবল 4 টে দেশলাই কাঠিকে জুড়ে দিলেই একটা বর্গক্ষেত্র তৈরী হয়ে যাবে। যেমন ভাবা তেমনি কাজ। 1টি বর্গক্ষেত্র তৈরী হল। এবার সে ভাবল তাহলে এরকম ভাবে আরো একটা তৈরী করি আরো 4টে কাঠি জুড়ে। সে 2টো বর্গক্ষেত্র বানিয়ে ফেলল (4+4)=8 টি কাঠি দিয়ে। সেগুলি দেখতে হল অনেকটি এইরকম।

অঙ্কের ভাষায় সে ভাবার চেষ্টা করল যে যদি আমি xটা বর্গক্ষেত্র বানাতে চাই তাহলে আমার $(x\times4) = 4x$ টা কাঠি লাগবে।

এই $4x=4\times x, x$ কে আমরা চলরাশি বলছি অর্থাৎ যার মান পরিবর্তন হয়। 4কে বলছি ধ্রুবক, যার মান অপরিবর্তনীয়।

কতকগুলি এই চলরাশি ও ধ্রুবক যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করে বহুপদী সংখ্যামালা তৈরী হয়।

যে সংখ্যামালায় একটি মাত্র পদ থাকে, তাকে একপদী সংখ্যামালা বলে।

যেমন- $7y^2, 2x^5$

যে সংখ্যামালায় দুটি মাত্র পদ থাকে, তাকে দ্বিপদী সংখ্যামালা বলে।

যেমন- $(2x+3), (z^2/2-3)$

যে সংখ্যামালায় তিনটি মাত্র পদ থাকে, তাকে ত্রিপদী সংখ্যামালা বলে।

যেমন- $((p^3+p^2-3))$

যে সংখ্যামালায় তিনের অধিক পদ থাকে, তাকে বলে বহুপদী সংখ্যামালা বা Polynomials।

যেমন- $(2y^5-3x^4+11x^2-3)$

বহুপদী সংখ্যামালার গুণ:-

একপদী সংখ্যামালার সাথে একপদী সংখ্যামালার গুণ:-

$2x^2 \times 3x$
$= (2\times 3)\times (x^2\times x)$
$=6x^2+1= 6x^3$ [চলরাশির সাথে চলরাশির গুণ ও সংখ্যার সাথে সংখ্যার গুণ]

একপদী সংখ্যামালার সাথে বহুপদী সংখ্যামালার গুণ:

$12t^2\times (9t+3)$
$=12t^2 \times 9t + 12t^2 \times 3$
$=(12\times 9) \times (t^2\times t)+ (12\times 3)\times t^2$
$=108t^3 + 36t^2$

দ্বিপদী সংখ্যামালার সাথে দ্বিপদী সংখ্যামালার গুণ:-

$(2x+9)\times(7x+2)$
$=2x \times (7x+2)+9 \times (7x+2)$
$=(2x\times 7x + 2x \times 2)+ (9\times 7x + 9\times 2)$
$=14x^2 + 4x+ 63x+18$
$=14x^2+67x+18$

এবারে আমরা দেখে নেব বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ভাগ সংক্রান্ত কিছু গাণিতিক সমস্যা

উদাহরণ – 1

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $(x^2+12-7y)$ সেমি এবং প্রস্থ $(3x-2y)$ সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধানঃ আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
$=(x^2+12-7y)\times (3x-2y)$ বর্গসেমি
$=x^2\times (3x-2y)+12\times (3x-2y)- 7y(3x-2y)$
$=3x^3-2x^{2}y+36x-24y-21xy+14y^2$
$=3x^3+21y^2-2x^2y+36x-24y-21xy$
$\therefore$ ঐ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $3x^3+21y^2-2x^2y+36x-24y-21xy$ বর্গসেমি।

উদাহরণ – 2

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(64-x^2)$ হলে। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হবে?
সমাধানঃ ক্ষেত্রফল $=(64-x^2)$ বর্গএকক
$(64-x^2)= [(8)^2-(x)^2]$ বর্গএকক
$(64-x^2)=(8+x)(8-x)$ বর্গএকক [ $\because$ আমরা জানি, $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ ]
$\therefore$ দৈর্ঘ্য = $(8+x)$ একক এবং প্রস্থ = $(8-x)$ একক

উদাহরণ – 3

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য $(p^3-2p^2q^2+q^3)$ মি. ও প্রস্থ $(p^2+pq+q^2)$ মি. হলে ঘরটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধানঃ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
$=(p^3-2p^2q^2+q^3)\times (p^2+pq+q^2)$ বর্গমিঃ
$=p^3\times (p^2+pq+q^2)-2p^2q^2(p^2+pq+q^2)+q^3(p^2+pq+q^2)$
$=(p^3\times p^2)+(p^3\times pq)+(p^3\times q^2)-2p^2q^2\times p^2-(2p^2q^2\times pq)-(2p^2q^2\times q^2)+ p^2q^3+pq^4+q^5$
$=(p^5+p^4q+p^3q^2-2p^4q^2-2p^3q^3-2p^2q^4+p^2q^3+pq^4+q^3)$ বর্গমিঃ

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

বহুপদী সংখ্যার ধারাবাহিক গুণ

উদাহরণ – 4

ধারাবাহিক গুণ করে গুণফল নির্ণয়:-
$(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2})\times (\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})\times (\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2})$
$=[(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2})\times (\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})]\times (\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2})$
$={\frac{x^2y^2}{y^2z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{y^4}{z^4}+\frac{y^2z^2}{x^2z^2}}\times{\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}}$
$=\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}+\frac{z^4}{x^2y^2}+\frac{y^4z^2}{z^4x^2}+\frac{y^2z^4}{x^4z^2}+\frac{x^4z^2}{y^4z^2}+\frac{x^2z^2}{y^4}+\frac{x^2y^4}{y^2z^4}+\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}$
$=2+\frac{x^4}{y^2z^2}+\frac{y^4}{x^2z^2}+\frac{z^4}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{z^4}+\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{x^2z^2}{x^4}$

উদাহরণ – 5

সরল করো:-

$=a^2(b^2-c^2)+b^2(c^2-a^2)+c^2(a^2-b^2)$
$=a^2b^2-a^2c^2+b^2c^2-a^2b^2+a^2c^2-b^2c^2$
$=0$

বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ

দেখ, আমরা জানি $5\times 3=15$ হয়।
যেখানে গুন্য $\times$ গুণক= গুণফল
তাহলে, গুণফল $\div$ গুণ্য= গুণক
বা, গুণফল $\div$ গুণক = গুণ্য
অর্থাৎ $15 \div 5=3$
এবং $15 \div 3=5$
তাহলে চলো এবারে ভাগ করে দেখি,
$(a^2-5a+6)$ কে $(a-3)$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

যেখানে ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ

আরেকটি ভাগের উদাহরণ দেখা যাক।

উদাহরণ – 6

$(m^4-2m^3-7m^2+8m+12)$ কে $(m^2-m-6)$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

ভাজ্য= ভাজক × ভাগফল
$\therefore$ $(m^4-2m^3-7m^2+8m+12)=(m^2-m-6) \times (m^2-m-2)$

উদাহরণ – 7

ভাজক $= a^2+2a-1$ , ভাগফল $=5a-14$ , ভাগশেষ $=35a-17$ হলে ভাজ্য কত?
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
$\therefore$ ভাজ্য $=(a^2+2a-1)\times (5a-14)+ (35a-17)$
ভাজ্য $=(5a^3+10a^2-5a-14a^2-28a+14)+35a-17$
ভাজ্য $=(5a^3-4a^2+2a-3)$