বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

গণিত – দশম শ্রেণি – বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

আমরা এই অধ্যায়ের তিনটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য আজকের পর্বে আলোচনা করে নেব।

উপপাদ্য 40

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।

প্রদত্ত- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB স্পর্শকটি P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে বৃত্তকে এবং OP হল P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

প্রমাণ করতে হবে যে, OP ও AB স্পর্শক পরস্পর লম্ব অর্থাৎ OP ⊥ AB।
অঙ্কন- AB স্পর্শকের উপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নেওয়া হল।
O, Q বিন্দুদুটিকে যুক্ত করা হল।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

প্রমাণ – স্পর্শক AB এর উপর P স্পর্শবিন্দু ছাড়া অন্য যেকোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
সুতরাং, OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করেছে ছেদ বিন্দুটি হল R।
OR < OQ [যেহেতু R হল O, Q বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী যে কোনো বিন্দু ]
আবার, OR = OP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OP < OQ
যেহেতু, AB স্পর্শকের উপর Q যেকোনো একটি বিন্দু, তাই বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB স্পর্শক পর্যন্ত যত সরলরেখা অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম। আবার, লম্বদূরত্ব হল সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।
সুতরাং, OP, AB এর উপর লম্ব OP ⊥ AB। [প্রমাণিত]

উপপাদ্য 41

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।

প্রদত্ত- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বহিঃস্থ বিন্দু থেকে A ও B স্পর্শবিন্দুতে যথাক্রমে দুটি স্পর্শক PA ও PB আছে।

অঙ্কন- O, A; O, B; O, P যুক্ত করা হল। বিন্দুগুলি যুক্ত করায় PA ও PB সরলরেখাংশ দুটি কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠POA ও ∠POB দুটি কোণ উৎপন্ন করেছে।

প্রমাণ করতে হবে, (i) PA = PB (ii) ∠POA = ∠POB

প্রমাণ- PA ও PB দুটি স্পর্শক এবং OA ও OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
OA ⊥ PA এবং OB ⊥ PB
সমকোণী △POA ও △POB এর, ∠OAP = ∠OBP [ প্রত্যেকে 90°]
OP সাধারন বাহু [অতিভুজ]
OA = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
△PAO = △PBO [R-H-S শর্তানুসারে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম]
PA = PB [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ বাহু] ………(i) [প্রমাণিত]
এবং ∠POA = ∠POB [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ কোণ] ………(ii) [প্রমাণিত]

উপপাদ্য 42

যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।

প্রদত্ত- A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, A, P ও B বিন্দুগুলি সমরেখ।

অঙ্কন- A, P ও B, Pবিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

প্রমাণ- A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
সুতরাং, P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হল সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, অতএব, AP ⊥ ST

আবার, যেহেতু B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, অতএব, BP ⊥ ST,
AP ও BP একই বিন্দু P তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
সুতরাং, AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত অর্থাৎ A, P ও B সমরেখ। [প্রমাণিত]