লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু । গাণিতিক সমস্যার সমাধান

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু

এর আগের একটি পর্বে আমরা শঙ্কুর ধারণা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা শঙ্কু সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান খোঁজার চেষ্টা করবো।

প্রথম উদাহরণ

শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। খেলনাটির চারপাশ প্রতি বর্গ সেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত ছিল?

সমাধানঃ
শঙ্কু আকৃতির কাঠের খেলনাটির ভূমির ব্যাসার্ধ $(r) = \frac{10}{2}$ cm = 5 cm

ধরি, উচ্চতা $= h$ cm, তির্যক উচ্চতা $= l$ cm

∴ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল $= \pi rl$ বর্গসেমি

খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=\frac{429}{2.10}$ বর্গসেমি

∴ প্রশ্নানুসারে, $\pi rl =\frac{429}{2.10}$

∴ $\frac{22}{7} \times 5 \times l =\frac{429}{2.10}$

বা, $l = 13$

∴ খেলনাটির উচ্চতা $(h) =\sqrt{l^2-r^2}$ cm $= \sqrt{13^2-5^2}$ cm = 12 cm

∴ আয়তন $=\frac{1}{3}\pi r^2h$ ঘনসেমি $=\frac{1}{3}\times \frac{22}{7} 5^2 \times 12$ ঘনসেমি $= 314\frac{5}{7}$ ঘনসেমি

∴ খেলনাটি তৈরি করতে $314\frac{5}{7}$ ঘনসেমি কাঠ লেগেছে।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

দ্বিতীয় উদাহরণ

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
ধরি, তাঁবুর ভূমির ব্যাসার্ধ $= r$ মিটার, উচ্চতা $= h$ মিটার

∴ ভূমির ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$ বর্গমিটার ও আয়তন $=\frac{1}{3} \pi r^2h$ ঘনমিটার

প্রশ্নানুসারে, 11 জন লোকের থাকতে জায়গা লাগবে $= (4 \times 11)$ বর্গমিটার

∴ $\pi r^2 = 4 \times 11 = 44$

11 জন লোকের বাতাসের প্রয়োজন $= (20 \times 11) = 220$ ঘনমিটার

∴ $\frac{1}{3}\pi r^2h = 220$

বা, $h =\frac{220\times 3}{44}$ [∵ $\pi r^2 = 44$]

∴ তাঁবুর উচ্চতা = 15 মিটার

তৃতীয় উদাহরণ

কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (100π) ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা কত?

সমাধানঃ
শঙ্কুর উচ্চতা $(h) = 12$ cm, আয়তন $= (100\pi)$ ঘনসেমি

ধরি, ব্যাসার্ধ $= r$ cm

∴ $\frac{1}{3} \pi r^2h = 100\pi$

বা, $\frac{1}{3}\pi r^2 \times 12 = 100\pi$

বা, $r^2 =\frac{100 \times 3}{12} = 25$

∴ $r = 5$

∴ তির্যক উচ্চতা $=\sqrt{h^2+r^2}$ cm $=\sqrt{12^2+5^2}$ cm $=\sqrt{169}$ cm $= 13$ cm

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

চতুর্থ উদাহরণ

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর তির্যক উচ্চতা $(l) = 7$ মিটার