পিথাগোরাসের উপপাদ্য

গণিত – দশম শ্রেণি – পিথাগোরাসের উপপাদ্য

এই অধ্যায়ে আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য সম্পর্কে আলোচনা করবো।

উপপাদ্য 49

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

যে কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, অতিভুজ²=ভুমি²+লম্ব²

প্রদত্ত- △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠BAC সমকোণ 90°। প্রমাণ করতে হবে, অতিভুজ²=ভুমি²+লম্ব² ।
এখানে $BC^2=AB^2+AC^2$ [BC= অতিভুজ, AB =ভুমি এবং AC = লম্ব ]

অঙ্কন- সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল, যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ- সমকোণী ত্রিভুজ △ABC এর অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব, AD $\perp$ BC
সুতরাং, △ABD ও △CBA সদৃশ।
অতএব, $\frac{AB}{BC} =\frac{BD}{AB}$ [সদৃশ হওয়ায় অনুরুপ বাহুগুলির অনুপাত সমান]
বা, $AB^2=BC.BD$ ………..(i)
আবার, △CAD ও △CBA সদৃশ
অতএব, $\frac{AC}{BC} =\frac{DC}{AC}$ [সদৃশ হওয়ায় অনুরুপ বাহুগুলির অনুপাত সমান]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

বা, $AC^2=BC.DC$ ………..(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
$AB^2+ AC^2=BC.BD+BC.DC$
$=BC(BD+DC)$ [ BC= BD+DC]
= $BC.BC= BC^2$
সুতরাং, $BC^2=AB^2+AC^2$ [প্রমানিত]

এবার আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যটি বুঝে নেব।

উপপাদ্য 50

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য

যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।

প্রদত্ত- △ABC এর AB বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল BC ও AC বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, $AB^2=AC^2+BC^2$ ।

প্রমাণ করতে হবে, ∠ACB = সমকোণ 90°

অঙ্কন- CB এর সমান করে FE সরলরেখাংশ অঙ্কন করা হল। FE বাহুর উপর F বিন্দুতে লম্ব অঙ্কন করা হল এবং সেই লম্ব থেকে CA বাহুর সমান দৈর্ঘ্যের FD অংশ কেটে নিয়ে এবং D, E বিন্দু দুটি যুক্ত করা হল।

প্রমান- $AB^2=AC^2+BC^2$ [প্রদত্ত]
$=DF^2+EF^2$ [ DF = AC, EF = BC ]
$=DE^2$ [∠DFE = সমকোণ]
$AB^2=DE^2$
বা, $AB=DE$
আবার, △ABC ও △DEF তে,
AB = DE [অঙ্কনানুসারে]
BC = EF [অঙ্কনানুসারে]
AC = DF [অঙ্কনানুসারে]
△ABC ≅ △DEF [ S-S-S শর্তানুসারে সর্বসম]
∠ACB = ∠DFE = 1 সমকোণ [ DF⊥EF অর্থাৎ DF, EF এর উপর লম্ব]
∠ACB = 1 সমকোণ 90° [প্রমানিত]