পিথাগোরাসের উপপাদ্য সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান

গণিত – দশম শ্রেণি – পিথাগোরাসের উপপাদ্য

আমরা এর আগের পর্বে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অধ্যায়টি নিয়ে আলোচনা করেছি, এই পর্বে পিথাগোরাসের উপপাদ্য সম্পর্কিত কিছু গাণিতিক উদাহরণ আলোচনা করে নেব।

1. একটি ত্রিভুজ ABC যার উচ্চতা AD; AB>AC হলে প্রমাণ কর যে, $AB^2-AC^2=BD^2-CD^2$

প্রদত্তঃ- ধরি, △ABC ত্রিভুজের উচ্চতা AD এবং AB > AC
প্রমাণ করতে হবে, $AB^2-AC^2=BD^2-CD^2$
প্রমাণ- পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
সমকোণী △ABD থেকে পাই,
$AB^2=BD^2+AD^2$ ……..(i)
সমকোণী △ACD থেকে পাই,
$AC^2=AD^2+CD^2$ ……….(ii)
(i) – (ii) বিয়োগ করে পাই,
$AB^2-AC^2$
$=BD^2+AD^2-(AD^2+CD^2)$
$=BD^2+AD^2-AD^2-CD^2$
$=BD^2-CD^2$ [প্রমাণিত]

2. যদি কোন ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোণ ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে (i) 8 সেমি, 15 সেমি ও 17 সেমি (ii) 9 সেমি, 11 সেমি ও 6 সেমি

সমাধান- (i) আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সম্পর্কটি পূরণ করলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
$8^2+15^2=64+225=289$
আবার, $17^2=289$
সুতরাং, $17^2=8^2+15^2$
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির একটি বাহুর বর্গ অপর বাহু দুটির বর্গের সমষ্টির সমান।
সুতরাং, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

(ii) একইভাবে, $9^2+6^2=81+36=117$
$11^2=121$
যেহেতু, $9^2+6^2 \neq 11^2$
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির একটি বাহুর বর্গ ওপর বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান নয়।
সুতরাং, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

3. 10 সেমি বাহু বিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান- ABCD রম্বসের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 10 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 12 সেমি।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
△AOD থেকে পাই পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, [ △AOD সমকোণী ত্রিভুজ]
$AD^2=AO^2+OD^2$
বা, $10^2=6^2+OD^2$
বা, $OD^2=100-36$
বা, $OD^2=64$
বা, $OD=8$

রম্বসের অপর কর্ণটি BD = BO + OD
= OD + OD = 8+8=16 [BO = OD]
সুতরাং, রম্বসের অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি।

4. একটি ত্রিভুজ △PQR যার ∠Q সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে কোন একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, $PS^2+QR^2=PR^2+QS^2$ ।

প্রদত্ত- △PQR একটি ত্রিভুজ যার PQR বা Q সমকোণ।
QR বাহুর উপর S যে কোন একটি বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে, $PS^2+QR^2=PR^2+QS^2$
প্রমাণ- △PQR থেকে পাই
পিথাগোরাসের সুত্রানুসারে,
$PQ^2+QR^2=PR^2$
বা, $QR^2=PR^2-PQ^2$ ……..(i)
আবার, △PQS থেকে পাই,
$PQ^2+QS^2=PS^2$ …………(ii)
সুতরাং, $PS^2+QR^2=PQ^2+QS^2+PR^2-PQ^2$
বা, $PS^2+QR^2=QS^2+PR^2$ [প্রমাণিত]