dighat-somikrn
Madhyamik

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের ধারণা

শ্রেণি – দশম |বিষয়: গণিত । অধ্যায়: একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (প্রথম পর্ব)


বাংলায় আমরা যাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে চিনি; এর ইংরাজি নাম হল Quadratic Equation with One Variable ।

একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ হল x2+2x+1=0

‘Quad’ শব্দটির অর্থ হল ‘Square’ বা ‘দ্বিঘাত’। উপরের উদাহরণটিতে একটু লক্ষ্য করলেই বোঝা যাবে ‘x’ চলরাশিটির দ্বিঘাত বা Square নেওয়া হয়েছে। তাই এটি একটি Quadratic Equation বা দ্বিঘাত সমীকরণ।

এক্ষেত্রে ‘x’ একটি চল ব্যাবহার করা হয়েছে তাই এটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

কাকে বলে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ?

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর সংজ্ঞা হিসাবে বলা যায়, যেসকল সমীকরণকে ax2+bx+c=0 আকারে প্রকাশ করা যায়, তাদের একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলা যায়।এক্ষেত্রে a, b ও c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হওয়া অবশ্যই প্রয়োজন।

উপরোক্ত উদাহরণটিতে a=1, b=2 এবং c=1, কিন্তু দ্বিঘাত সমীকরণ ax2+bx+c=0 আকারে নাও থাকতে পারে। একটা উদাহরণ দেখা যাকঃ

i) x (x+5)=204

এই সমীকরণটিকে সরলরূপে প্রকাশ করলে পাওয়া যায়

⇒ x2 + 5x = 204

⇒ x2+5x-204 = 0 (এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ)

আবার, সব সমীকরণকে সরল আকারে প্রকাশ করলে সেটি দ্বিঘাত সমীকরণ নাও হতে পারে। একটি উদাহরণ দেখা যাকঃ

ii) (x+1) (x+3) – x (x+8)=9

⇒ x2 + x + 3x + 3 – x2– 8x = 9

⇒ – 4x + 3 = 9

⇒ -4x – 6 = 0

⇒ 4x – 6 = 0 (এটি কিন্তু দ্বিঘাত সমীকরণ নয়)

subscribe-jump-magazine-india

কেন শিখবো দ্বিঘাত সমীকরণ?

গনিতের বিভিন্ন শাখা থেকে শুরু করে ভৌতবিজ্ঞানের বিভিন্ন সমীকরণ সমাধানে দ্বিঘাত সমীকরণ জানার প্রয়োজনীয়তা আছে। উদাহরণ স্বরূপ বলা যেতে পারে একটি বলকে যদি ছোড়া হয় সেটি যে পথে যাত্রা করবে তা সঠিক ভাবে জানতে দ্বিঘাত সমীকরণ জানার প্রয়োজন আছে। দেখা যাক কিভাবে!

দ্বিঘাত_সমীকরণের_বাস্তব_উদাহরণ

বায়ুর রোধ অগ্রাহ্য করে, আমরা এই প্রশ্নটির সমাধান করবো। উল্লেখ্য t হল সময় এবং এর একক হল সেকেন্ড।

এবার সব তথ্যগুলো একত্রিত করা যাক।

i)  3 মিটার উচ্চ ভূমির উচ্চতা 3
ii) বলটি উপরের দিকে প্রতি সেকেন্ডে14 মিটার যায়, অর্থাৎ বলটি t সময়ে যে পথ যায় – 14t
iii) মাধ্যাকর্ষণ শক্তি 9.8 মি/সে2 এর দ্বারা বলটি যে পথ অতিক্রম করে তা হলঃ

(\frac{1}{2}× a × t2)

~ -5t2

-5t2

সুতরাং বলটি সমগ্রভাবে যে পথ অতিক্রম করে, তা হল –

h = 3 + 14t -5t2

বলটি যদি ভূমিতে এলে, h = 0 হবে। অর্থাৎ, যে সময় পরে বলটি ভূমিতে পড়বে তার জন্য উপযুক্ত দ্বিঘাত সমীকরণ হল 3 + 14t -5t2 = 0


বিজ্ঞাপন


দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

তিনটি ভিন্ন প্রক্রিয়ায় দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যেতে পারে।

  1. উৎপাদক বিশ্লেষণ প্রক্রিয়া দ্বারা
  2. সমীকরণকে পূর্ণ বর্গাকারে প্রকাশ করে
  3. শ্রীধর আচার্য পদ্ধতি দ্বারা

আমরা প্রতিটি প্রক্রিয়া সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করবো।


[আরো পড়ুন – বিভব, ভোল্টেজ, রোধ এবং ওহমের সূত্র]

1) উৎপাদক বিশ্লেষণ প্রক্রিয়া দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

একটি উদাহরণ সহযোগে এই পদ্ধতিটির বর্ণনা দেওয়া হলঃ

6x2 – x – 2 = 0

⇒ 6x2– 4x + 3x – 2 = 0

⇒ 2x(3x-2) + 1(3x-2) = 0

⇒ (2x+1) (3x-2) = 0

সুতরাং, 2x+1 = 0

⇒ 2x = -1

⇒ x = – \frac{1}{2}

অথবা, 3x – 2=0

⇒ 3x = 2

⇒x = \frac{2}{3}


দশম শ্রেণির অন্যান্য বিভাগগুলি পড়ুন –ভৌতবিজ্ঞান | গণিত | জীবনবিজ্ঞান

2) সমীকরণকে পূর্ণ বর্গাকারে প্রকাশ করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

আবার, একটি উদাহরণ সহযোগে এই পদ্ধতিটি বোঝা যাক।

ধরা যাক সমীকরণটি হলঃ

x2 + 6x + 5 = 0

প্রথমে (1) নং পদ্ধতি দ্বারা উপরোক্ত সমীকরণটির সমাধান করে আমরা মান নির্ণয় করার চেষ্টা করি।

x2 + 5x + x + 5 = 0

⇒ x (x+5) + 1 (x+5) = 0

⇒ (x+5) (x+1) = 0

সুতরাং, x = -5       অথবা x = -1


[আরো পড়ুন – গে-লুসাকের গ্যাস আয়তন সূত্র ]

এখন পূর্ণ বর্গাকারে প্রকাশ করে দেখা যাক কি মান আসে।

x2 + 6x + 5 = 0

⇒ x2 + 2.3x + 32 – 32 + 5 = 0

⇒ (x+3)2-4 =0

⇒ (x+3)2  =22

⇒ x+3 = ± 2

(+) চিহ ধরে পাইঃ x+3 = 2

⇒ x = 2 – 3

⇒ = -1

আবার, (-)চিহ ধরে পাইঃ x + 3 = -2

⇒ x = -2 -3

⇒ x = -5

সুতরাং উভয়ক্ষেত্রেই সমাধান পাওয়া গেল x = -1 এবং x = -5।

তবে এক্ষেত্রে মনে রাখা প্রয়োজন, পূর্ণ বর্গাকারে প্রকাশ করার পর ডান পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা থাকলে সমীকরণটি সমাধান পাওয়া যাবে না অর্থাৎ সমীকরণ কোনো বাস্তব বীজ পাওয়া যাবে না।

একটি উদাহরণ দেখা যাকঃ

x2 + 6x + 13 = 0

⇒ x2 + 6x + 9 + 4 =0

⇒ (x+3)2 = – 4

⇒ x+3 =  ± √-4

যেহেতু বাস্তব সংখ্যার বর্গ কখনই ঋণাত্মক হয় না। তাই উপরোক্ত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

পরবর্তী পর্ব → শ্রীধর আচার্যের সূত্র এবং তার প্রয়োগ

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করতে ভুলো না।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

lekha-pora-shona-facebook-group

Aditi Sarkar
রাজাবাজার সায়েন্স কলেজের ফলিত গণিতের (MSc in Applied Mathematics) প্রাক্তন ছাত্রী অদিতি সরকারের গণিতের সাথে সম্পর্ক চিরকালীন। পড়াশোনার পাশাপাশি গান শুনতে ও ছবি আঁকতে ভালোবাসেন অদিতি।

Leave a Reply