bohupodi-sonkhar-gun-vag
WB-Class-8

বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ


শুভ দেশলাই কাঠি দিয়ে বর্গক্ষেত্র বানাবে বলে ঠিক করেছে।

সে ছোটবেলায় পড়েছে বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু থাকে এবং চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান হয়। তাহলে সে মনে মনে ভাবল 4 টে দেশলাই কাঠিকে জুড়ে দিলেই একটা বর্গক্ষেত্র তৈরী হয়ে যাবে। যেমন ভাবা তেমনি কাজ। 1 টি বর্গক্ষেত্র তৈরী হল। এবার সে ভাবল তাহলে এরকম ভাবে আরো একটা তৈরী করি আরো 4 টে কাঠি জুড়ে। সে 2 টো বর্গক্ষেত্র বানিয়ে ফেলল (4+4)=8 টি কাঠি দিয়ে। সেগুলি দেখতে হল অনেকটি এইরকম।

অঙ্কের ভাষায় সে ভাবার চেষ্টা করল যে যদি আমি xটা বর্গক্ষেত্র বানাতে চাই তাহলে আমার (x\times4) = 4x টা কাঠি লাগবে।

এই 4x=4\times x, x কে আমরা চলরাশি বলছি অর্থাৎ যার মান পরিবর্তন হয়। 4কে বলছি ধ্রুবক, যার মান অপরিবর্তনীয়।

কতকগুলি এই চলরাশি ও ধ্রুবক যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করে বহুপদী সংখ্যামালা তৈরী হয়।

যে সংখ্যামালায় একটি মাত্র পদ থাকে, তাকে একপদী সংখ্যামালা বলে।

যেমন- 7y^2, 2x^5

যে সংখ্যামালায় দুটি মাত্র পদ থাকে, তাকে দ্বিপদী সংখ্যামালা বলে।

যেমন- (2x+3), (z^2/2-3)

যে সংখ্যামালায় তিনটি মাত্র পদ থাকে, তাকে ত্রিপদী সংখ্যামালা বলে।

যেমন- ((p^3+p^2-3))

যে সংখ্যামালায় তিনের অধিক পদ থাকে, তাকে বলে বহুপদী সংখ্যামালা  বা Polynomials।

যেমন- (2y^5-3x^4+11x^2-3)

বহুপদী সংখ্যামালার গুণ:-

একপদী সংখ্যামালার সাথে একপদী সংখ্যামালার গুণ:-

2x^2 \times 3x
= (2\times 3)\times (x^2\times x)
=6x^2+1= 6x^3 [চলরাশির সাথে চলরাশির গুণ ও সংখ্যার সাথে সংখ্যার গুণ]

একপদী সংখ্যামালার সাথে বহুপদী সংখ্যামালার গুণ:

12t^2\times (9t+3)
=12t^2 \times 9t + 12t^2 \times 3
=(12\times 9) \times (t^2\times t)+ (12\times 3)\times t^2
=108t^3 + 36t^2

দ্বিপদী সংখ্যামালার সাথে দ্বিপদী সংখ্যামালার গুণ:-

(2x+9)\times(7x+2)
=2x \times (7x+2)+9 \times (7x+2)
=(2x\times 7x + 2x \times 2)+ (9\times 7x + 9\times 2)
=14x^2 + 4x+ 63x+18
=14x^2+67x+18

subscribe-jump-magazine-india

এবারে আমরা দেখে নেব বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ভাগ সংক্রান্ত কিছু গাণিতিক সমস্যা

উদাহরণ – 1

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x^2+12-7y) সেমি এবং প্রস্থ (3x-2y) সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধানঃ আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
=(x^2+12-7y)\times (3x-2y) বর্গসেমি
=x^2\times (3x-2y)+12\times (3x-2y)- 7y(3x-2y)
=3x^3-2x^{2}y+36x-24y-21xy+14y^2
=3x^3+21y^2-2x^2y+36x-24y-21xy
\therefore ঐ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 3x^3+21y^2-2x^2y+36x-24y-21xy বর্গসেমি।

উদাহরণ – 2

একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (64-x^2) হলে। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হবে?
সমাধানঃ ক্ষেত্রফল =(64-x^2) বর্গএকক
(64-x^2)= [(8)^2-(x)^2] বর্গএকক
(64-x^2)=(8+x)(8-x) বর্গএকক [\because আমরা জানি, a^2-b^2=(a+b)(a-b)]
\therefore দৈর্ঘ্য = (8+x) একক এবং প্রস্থ = (8-x) একক

উদাহরণ – 3

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য (p^3-2p^2q^2+q^3) মি. ও প্রস্থ (p^2+pq+q^2) মি. হলে ঘরটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধানঃ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
=(p^3-2p^2q^2+q^3)\times (p^2+pq+q^2) বর্গমিঃ
=p^3\times (p^2+pq+q^2)-2p^2q^2(p^2+pq+q^2)+q^3(p^2+pq+q^2)
=(p^3\times p^2)+(p^3\times pq)+(p^3\times q^2)-2p^2q^2\times p^2-(2p^2q^2\times pq)-(2p^2q^2\times q^2)+ p^2q^3+pq^4+q^5
=(p^5+p^4q+p^3q^2-2p^4q^2-2p^3q^3-2p^2q^4+p^2q^3+pq^4+q^3) বর্গমিঃ


অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

বহুপদী সংখ্যার ধারাবাহিক গুণ

উদাহরণ – 4

ধারাবাহিক গুণ করে গুণফল নির্ণয়:-
(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2})\times (\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})\times (\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2})
=[(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2})\times (\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})]\times (\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2})
={\frac{x^2y^2}{y^2z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{y^4}{z^4}+\frac{y^2z^2}{x^2z^2}}\times{\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}}
=\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}+\frac{z^4}{x^2y^2}+\frac{y^4z^2}{z^4x^2}+\frac{y^2z^4}{x^4z^2}+\frac{x^4z^2}{y^4z^2}+\frac{x^2z^2}{y^4}+\frac{x^2y^4}{y^2z^4}+\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}
=2+\frac{x^4}{y^2z^2}+\frac{y^4}{x^2z^2}+\frac{z^4}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{z^4}+\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{x^2z^2}{x^4}

উদাহরণ – 5

সরল করো:-

=a^2(b^2-c^2)+b^2(c^2-a^2)+c^2(a^2-b^2)
=a^2b^2-a^2c^2+b^2c^2-a^2b^2+a^2c^2-b^2c^2
=0

বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ

দেখ, আমরা জানি 5\times 3=15 হয়।
যেখানে গুন্য \times গুণক= গুণফল
তাহলে, গুণফল \div গুণ্য= গুণক
বা, গুণফল \div গুণক = গুণ্য
অর্থাৎ 15 \div 5=3
এবং 15 \div 3=5
তাহলে চলো এবারে ভাগ করে দেখি,
(a^2-5a+6) কে (a-3) দিয়ে ভাগ করতে হবে।

যেখানে ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ

আরেকটি ভাগের উদাহরণ দেখা যাক।

উদাহরণ – 6

(m^4-2m^3-7m^2+8m+12) কে (m^2-m-6) দিয়ে ভাগ করতে হবে।

ভাজ্য= ভাজক × ভাগফল
\therefore (m^4-2m^3-7m^2+8m+12)=(m^2-m-6) \times (m^2-m-2)

উদাহরণ – 7

ভাজক = a^2+2a-1, ভাগফল =5a-14, ভাগশেষ =35a-17 হলে ভাজ্য কত?
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
\therefore ভাজ্য =(a^2+2a-1)\times (5a-14)+ (35a-17)
ভাজ্য=(5a^3+10a^2-5a-14a^2-28a+14)+35a-17
ভাজ্য=(5a^3-4a^2+2a-3)

অধ্যায় সমাপ্ত। পরবর্তী অধ্যায় →ঘনফল নির্ণয়

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।