মূলদ সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: মূলদ সংখ্যার ধারণা (দ্বিতীয় পর্ব)

আগের পর্বে আমরা জেনেছি সাধারণ সমস্যা থেকেই কিভাবে মূলদ সংখ্যার জন্ম হয়। এইবারে আমরা দেখব যে গণিতে ঐ মূলদ সংখ্যাগুলির মধ্যে সম্পর্ক কিরূপ।

ঋতম, তীর্থ ও রাজু তিন জনে মিলে গেল ওদের পাশের বাড়ির ক্লাস এইটের তিতিন দিদির বাড়ি, এই নতুন সংখ্যাটির ব্যাপারে জানতে, যদিও ওরা ছোটো তাও ওদের তিতিন দিদি ওদের নিরাশ করল না।

তিতিন দিদি, দুটো মূলদ সংখ্যা নিল, যথাক্রমে $\frac{-1}{2}$ এবং $\frac{4}{11}$

মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ।

তিতিন ওদের বললো, এই দুটো মূলদ সংখ্যাকে যোগ করে, বিয়োগ করে, গুণ করে, বা ভাগ করে কি মূলদ সংখ্যাই পাবি?

চলো, দেখি।

প্রথমে যোগ করে দেখা গেল,

$\frac{-1}{2}+\frac{4}{11}= \frac{-11+8}{22} = \frac{-3}{22}$ , একটি মূলদ সংখ্যা।
যেখানে $p=-3, q=22$

দেখা যাক বিয়োগ করলে কি ঘটে,

$\frac{-1}{2} -\frac{4}{11}= \frac {(-11-8)}{22} = \frac{-19}{22}$ , যা একটি মূলদ সংখ্যা,

যেখানে $p=19, q=22$

এবার সংখ্যা দুটিকে গুণ করে দেখা যাক,

$\frac{-1}{2}\times \frac{4}{11} = \frac{-2}{11}$ , এটিও একটি মূলদ সংখ্যা।
যেখানে $p= -2 , q = 11$

ভাগ করে কি আসে দেখি,

$\frac{-1}{2} \div \frac{4}{11}= \frac{-1}{2} \times \frac{11}{4} = \frac{-11}{8}$ ,
একটি মূলদ সংখ্যা, যেখানে $p= -11, q= 8$

অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে প্রত্যেক ক্ষেত্রেই উত্তর একটি মূলদ সংখ্যা।

এখন তীর্থ একটা প্রশ্ন করলো, যদি মূলদ সংখ্যার সাথে 0 যোগ করা হয় তবে কি পাওয়া যাবে?

তিতিন দিদি তার উত্তরে বললোঃ ধরো, একটি মূলদ সংখ্যা হল $\frac{-4}{3}$
এর সাথে যদি শূন্য যোগ করি, তাহলে হয়ঃ
$0+ \frac{-4}{3} = \frac{0-4}{3} = \frac{-4}{3}$ ,
অর্থাৎ সেই একই সংখ্যা পাওয়া যাচ্ছে।
$\therefore$ এক কথায় বলা যায়,
$0+$ যে কোনো মূলদ সংখ্যা $=$ ওই মূলদ সংখ্যা

এবার ঋতম জানতে চাইল, আচ্ছা তাহলে গুণের ক্ষেত্রে কি ঘটবে দেখি।
(-4/3) এই মূলদ সংখ্যার সাথে 0 গুণ করলে হয়,
$0 \times \frac{-4}{3} = 0$
অর্থাৎ, $0 \times$ যেকোনো মূলদ সংখ্যা $= 0$
আবার মূলদসংখ্যার সাথে 1 গুণ করলে ওই মূলদ সংখ্যাই পাওয়া যায়।

এবার তিতিন দিদি ওদের প্রশ্ন করল, একটি মূলদ সংখ্যার সাথে ঠিক কত গুণ করলে 1 হবে?

চল আমরাও তীর্থদের সাথে করতে শুরু করি।
ধরি , $x$ গুণ করলে 1 হয়। একটি যে কোনো মূলদ সংখ্যা ধরি $\frac{-2}{7}$ [তোমরা তোমাদের পছন্দ মত যেকোনো মূলদ সংখ্যা ধরে করে দেখ]
প্রশ্নানুসারে,
$x \times \frac{-2}{7} =1$
বা, $x = \frac{1}{\frac{-2}{7}}$
বা, $x= (-7/2)$

আবার, $\frac{-7}{2}$ হলো $\frac{-2}{7}$ এর অনন্যক।

আচ্ছা, তিতিন তো তীর্থদের শিখিয়ে দিল। এবার তোমরা যারা এই লেখাটি পড়ছো, তারা বলোতো তিনটি মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করলে কি হবে?

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

তিনটি মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ?

তিনটি যে কোনো মূলদ সংখ্যা ধরে নেওয়া যাক। $\frac{1}{3}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{-2}{3}$
এখন চলো দেখে নিই এরা কোন কোন নিয়ম মেনে চলে।

সংযোগ নিয়মঃ A+(B+C)=(A+B)+C

$\therefore$ $\frac{1}{3}+ (\frac{4}{5}+\frac{-2}{3})$
$= \frac{1}{3}+ (\frac{12-10}{15})$
$=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}$
$=\frac{5+2}{15}$
$=\frac{7}{15}$

আবার, $(\frac{1}{3}+ \frac{4}{5})+\frac{-2}{3}$
$= (\frac{5+12}{15}) + \frac{-2}{3}$
$=\frac{17}{15}+\frac{-2}{3}$
$=\frac{17-10}{15}$
$=\frac{7}{15}$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যোগের ক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।

এবার দেখি বিয়োগের ক্ষেত্রে কি ঘটে?

$\therefore$ $\frac{1}{3}- [\frac{4}{5}-(\frac{-2}{3})]$

$= \frac{1}{3}- \frac{12+10}{15}$

$=\frac{1}{3}-\frac{22}{15}$

$=\frac{5-22}{15}$

$=\frac{-17}{15}$

আবার, $(\frac{5-12}{15}) - (\frac{-2}{3})$

$= (\frac{5-12}{15}) - (\frac{-2}{3})$

$=\frac{-7}{15}-(\frac{-2}{3})$

$=\frac{-7+10}{15}$

$=\frac{3}{15}$

$=\frac{1}{5}$

দেখা যাচ্ছে বিয়োগের ক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

দেখা যাক গুণের ক্ষেত্রে কি ঘটে?

$\therefore$ $\frac{1}{3}\times (\frac{4}{5}\times\frac{-2}{3})$
$= \frac{1}{3}\times \frac{-8}{15}$
$=\frac{-8}{45}$

আবার, $(\frac{1}{3}\times \frac{4}{5})\times \frac{-2}{3}$
$= (\frac{4}{15}) \times \frac{-2}{3}$
$=\frac{-8}{45}$

দেখা যাচ্ছে গুণের ক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।

দেখা যাক এখন ভাগের ক্ষেত্রে কি হয়?

$\therefore$ $\frac{1}{3}\div (\frac{4}{5}\div\frac{-2}{3})$
$= \frac{1}{3}\div (\frac{4}{5}\times \frac{3}{-2})$
$=\frac{1}{3}\div \frac{-6}{5}$
$=\frac{1}{3}\times \frac{5}{-6}$
$=\frac{5}{-18}$

আবার, $(\frac{1}{3}\div \frac{4}{5})\div \frac{-2}{3}$
$= (\frac{1}{3}\times \frac{5}{4}) \div \frac{-2}{3}$
$=\frac{5}{12}\div \frac{-2}{3}$
$= \frac{5}{12}\times \frac{3}{-2}$
$= \frac{5}{-8}$

দেখা যাচ্ছে ভাগের ক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

এই ভাবে তোমরা নিজেরা মুলদ সংখ্যা বিনিময় ও বিচ্ছেদ নিয়মগুলি পালন করে কিনা দেখে নিতে পারো।

আচ্ছা, মূলদ সংখ্যাকে কি সংখ্যা রেখায় প্রকাশ করা যাবে?

ধরা যাক $\frac{1}{2}$ কে আমরা সংখ্যা রেখায় প্রকাশ করা যায় কিনা দেখব।
1 এর থেকে ছোটো ও 0 এর থেকে বড় হল $\frac{1}{2}$ , তাই অবশ্যই এটা 0 ও 1 এর মধ্যে অবস্থিত হবে। অর্থাৎ 1 সংখ্যাটিকে 2 দ্বারা ভাগ করে এই মূলদ সংখ্যাটি পাওয়া যাচ্ছে। তাহলে বলা যায় 0 থেকে 1 এর মধ্যবর্তী স্থানকে দুই ভাগ করে তার একটি ভাগ সংখ্যারেখায় নিতে হবে।

এই ভাবে তোমরা আরো মূলদ সংখ্যা নিয়ে নিজে নিজে সংখ্যারেখায় বসিয়ে দেখতে পারো।

তোমরা সবসময় মনে রাখবে এই সংখ্যা রেখায় কোনো শূন্যস্থান নেই। দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে।

অধ্যায় সমাপ্ত।

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

Join JUMP Magazine Telegram

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

ফলো করো – WhatsApp চ্যানেল
সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
লাইক করো – facebook পেজ
সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা

VIII_M_3b