স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় | গাণিতিক সমস্যার সমাধান

শ্রেণি – নবম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দূরত্ব নির্ণয়)

আগের পর্বে আমরা জেনেছি স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় সম্পর্কে। এই পর্বে আমরা স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান বুঝে নেব।

1) (7, 0) এর (2, -12) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান, এখানে $(x_1, y_1) = (7, 0)$
∴ $x_1 = 7, y_1 = 0$
$(x_2, y_2) = (2, -12)$
$x_2 = 2, y_2 = -12$
এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

$= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$= \sqrt{(2-7)^2 + (-12-0)^2}$
$= \sqrt{(-5)^2+(-12)^2}$
$= \sqrt{25+144}$
$= \sqrt{169} = 13$ একক
উত্তরঃ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 একক।

2) প্রমাণ কর, O(0, 0), A(4, 3) এবং B(8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
সমাধান, O = (0, 0)
A = (4, 3) এবং B = (8, 6)
যদি OA + AB = OB হয় তবেই বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে।
OA $= \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}$
$= \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ একক
AB $= \sqrt{(8-4)^2+(6-3)^2}$

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

$= \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ একক
OB $=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}$
$= \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ একক
অর্থাৎ OA + AB = 5 + 5 = 10 একক = OB
∴ O(0, 0), A(4, 3) এবং B(8, 6) বিন্দু তিনটি সমরেখ। [প্রমাণিত]

3) দেখাও যে, (2, -2), (8, 4), (5, 7) এবং (-1, 1) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান, ধরি, A = (2, -2)
B = (8, 4)
C = (5, 7)
D = (-1, 1)
AB $= \sqrt{(8-2)^2+(4+2)^2}$
$= \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}$
BC $=\sqrt{(5-8)^2+(7-4)^2}$
$=\sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$
CD $= \sqrt{(-1-5)^2+(1-7)^2}$
$= \sqrt{(-6)^2+(-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}$
DA $= \sqrt{(-1-2)^2+(1+2)^2}$
$= \sqrt{(-3)^2+(3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়।
অর্থাৎ AB = CD = $\sqrt{72}$
এবং BC = DA = $\sqrt{18}$
∴ A

∴ (2, -2), (8, 4), (5, 7) এবং (-1, 1) আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। [প্রমাণিত]