রৈখিক সহসমীকরণ | পঞ্চম অধ্যায় নবম শ্রেণি

গণিত– নবম শ্রেণি – রৈখিক সহ সমীকরণ (roikhik soho somikoron)

আমরা একটা গল্প তোমাদের বলি আর তা থেকে রৈখিক সহ সমীকরণের ধারণা বুঝে নেবো।

অপূর্বর আজ জন্মদিন। মা আজ তাকে 200 টাকা দিয়ে মিষ্টির দোকানে পাঠালেন মিষ্টি কিনতে। রাত্রে অপূর্বর স্কুলের 5 জন বন্ধু অপূর্বদের বাড়ি আসবে। তার জন্মদিনে নিমন্ত্রিত স্কুলের ওই 5 জন বন্ধু। মা অপূর্বকে বলে দিয়েছেন রসগোল্লা ও পান্তুয়া নিয়ে আসতে।

অপূর্ব দোকানে গিয়ে রসগোল্লা ও পান্তুয়ার দাম জিজ্ঞেস করে 200 টাকায় মোট 30 পিস রসগোল্লা ও পান্তুয়া কিনল।

ধরি, সে রসগোল্লা কিনেছে x টি এবং পান্তুয়া নিয়েছে y টি।
সুতরাং, (x + y) হল মোট মিষ্টির সংখ্যা।
দোকানদার, 1 টি রসগোল্লা দেয় 10 টাকায়
তাহলে x টি রসগোল্লা দেয় 10 × x টাকায়
আবার 1 টা পান্তুয়ার দাম 5 টাকা
তাহলে y টা পান্তুয়ার দাম 5 × y টাকা
∴ মোট মুল্য = (10x + 5y) টাকা
শর্তানুসারে,
(x + y) = 30 —(1)
10x + 5y = 200 —(2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে আমরা বলতে পারি সহসমীকরণ।
এই দুটি সহসমীকরণের মধ্যে x ও y হল দুটি চলরাশি। অর্থাৎ যার মান পরিবর্তন হয়।
(1) নং থেকে পাই,
x = (30 – y) —(3)
(2) নং থেকে পাই,
10x = (200 – 5y)

বা, $x =\frac{(200-5y)}{10}$ —(4)
(3) এর সমীকরণের থেকে পাই,

অর্থাৎ (3) নং সমীকরণটির লেখচিত্র AB সরলরেখাকে প্রকাশ করে
(4) এর সমীকরণ থেকে পাই,

এবং (4) নং সমীকরণটির লেখচিত্র CD সরলরেখাকে প্রকাশ করে,
চিত্র থেকে দেখছি AB ও CD সরলরেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করেছে। সেটি হল (10, 20)
অর্থাৎ x এর স্থানাঙ্ক 10
y এর স্থানাঙ্ক 20
∴ (x, y) = (10, 20)

সুতরাং, আমরা পেলাম যে, অপূর্ব 10 টা রসগোল্লা ও 20 টা পান্তুয়া কিনেছে।

অর্থাৎ, x ও y এই দুটি চল বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের আমরা একটি সমাধান পেলাম।
আবার মনে করি, তুমি তোমার বিদ্যালয়ের পাশের একটি দোকান থেকে 2 টো পেন ও 4 টে খাতা কিনলে 70 টাকায় আবার, অন্য একটি দোকান থেকে , 4 টি পেন ও 8 টি খাতা কিনলে 140 টাকায়। তাহলে একটি পেন ও একটি খাতার দাম কত করে পড়ল?
ধরি, একটি পেনের দাম x টাকা
ও একটি খাতার দাম y টাকা

∴ 2 টি খাতা ও 4 টি পেনের মোট দাম = (2 × x + 4 × y) = (2x + 4y) টাকা
এবং 4 টি খাতা ও 8 টি পেনের মোট দাম = (4 × x + 8 × y) = (4x + 8y) টাকা
শর্তানুসারে,
(2x + 4y) = 70 —(1)
(4x + 8y) = 140 —(2)

একই ভাবে আমরা (1) ও (2) নং রৈখিক সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করব।
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই, 2x = 70 – 4y
বা, $x = \frac{70-4y}{2}$ —(3)
(2) নং সমীকরণ থেকে পাই, 4x = 140 – 8y
বা, $x = \frac{140-8y}{4}$ —(4)
(3) ও (4) নং থেকে প্রাপ্ত x ও y এর স্থানাঙ্কগুলি লেখচিত্রে স্থাপন করব।
সুতরাং, (3) নং থেকে পাই,

এবং (4) নং থেকে পাই,

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

লেখচিত্র থেকে দেখছি যে, (3) ও (4) নং সমীকরণ দুটির লেখচিত্রটি একটি সরলরেখা AB র উপরে সমাপাতিত হয়েছে।

অর্থাৎ প্রত্যেকটি x স্থানাঙ্ক, y স্থানাঙ্ক সমীকরণ দুটির লেখচিত্র।

প্রত্যেকটি বিন্দুই সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করে।

অর্থাৎ সমীকরণ দুটির অসংখ্য সমাধান আছে।

বা, আমরা বলতে পারি যে, সমীকরণ দুটি একই সমীকরণ।

এবার, তুমি বিদ্যালয়ের পাশের দোকান থেকে 2 টো পেন ও 4 টে খাতা 70 টাকায় কিনেছিলে। সেই দোকান থেকেই তোমার বন্ধু অর্ক 50 টাকায় 2 টো পেন ও 4 টে খাতা কিনেছে। তাহলে দোকানদার কাকু তোমাদের থেকে একটা খাতা ও একটা পেনের দাম কত নিয়েছে?

যদি মনে করি, একটি পেনের দাম x টাকা
ও একটি খাতার দাম y টাকা
∴ 2 টি খাতা ও 4 টি পেনের মোট দাম = (2x + 4y) টাকা
শর্তানুসারে,
2x + 4y = 70 —(1)
2x + 4y = 50 —(2)
লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করার চেষ্টা করি (1) ও (2) নং সমীকরণের।
(1) নং থেকে পাই, 2x = 70 – 4y
বা, $x =\frac{70-4y}{2}$

(2) নং থেকে পাই, 2x = 50 – 4y
বা, $x =\frac{50-4y}{2}$

লেখচিত্র থেকে স্পষ্ট যে, (1) নং সমীকরণের লেখচিত্র AB সরলরেখা দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণের লেখচিত্র CD সরলরেখা দ্বারা নির্দেশিত হচ্ছে।

চিত্র থেকে দেখছি, দুটি সরলরেখা পরস্পর এদের কোন ছেদবিন্দু নেই।
এক্ষেত্রে, কোন সমাধান আমরা পাব না।
এবং খাতা ও পেনের দাম নির্ণয় করতে পারব না।

দুই চলবিশিষ্ট দুটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করার শর্তগুলি হল—
1. যখন দুটি সরলরেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে তখন সমীকরণ দুটির সমাধান করা যাবে এবং একটি মাত্র সাধারণ সমাধান পাব।
2. যখন দুটি সরলরেখা একটি আর একটির ওপর সমাপাতিত হয় তখন সমীকরণ দুটির অসংখ্য সমাধান পাব।
3. যখন দুটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল হয় তখন সমীকরণ দুটির কোন সমাধান পাব না।