রৈখিক সহ সমীকরণ সম্পর্কিত সমস্যার সমাধান

গণিত– নবম শ্রেণি – রৈখিক সহ সমীকরণ

গত পর্বে আমরা রৈখিক সহ সমীকরণ পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা করেছি, এই পর্বে আমরা রৈখিক সহ সমীকরণ যে চার পদ্ধতিতে সমাধান করা যায়, সেই পদ্ধতিগুলি গাণিতিক সমাধানের সাহায্যে বুঝে নেবো।

অপনয়ন পদ্ধতি

দুটি দুই চলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের একটি চল অপনয়ন করে অন্য একটি চলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ পরিণত করে সমাধান করার পদ্ধতিকে অপনয়ন পদ্ধতি বলে।

সুমিতের স্কুলের পাশের বইয়ের দোকান থেকে রীতা 34 টাকায় 5টি পেন ও 3টি পেনসিল কিনেছে। সুমিত ঐ একই দোকান থেকে একই দামে 7টি পেন ও 6টি পেনসিল 53 টাকায় কিনেছে। সহসমীকরণ গঠন করে প্রতিটি পেন ও পেনসিলের দাম কত হবে তা নির্ণয় কর। (অপনয়ন পদ্ধতির সাহায্যে)

উত্তর- ধরি, প্রতিটি পেনের দাম x টাকা
ও প্রতিটি পেনসিলের দাম y টাকা
∴ 5টি পেন ও 3টি পেনসিলের মোট দাম = (5 × x + 3 × y) = (5x + 3y) টাকা
এবং 7টি পেন ও 6টি পেনসিলের দাম = (7x + 6y) টাকা
শর্তানুসারে,
5x + 3y = 34 —(1)
7x + 6y = 53 —(2)
(1) নং সমীকরণকে 7 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,
35x + 21y = 238 —(3)
35x + 30y = 265 —(4)
(3) নং সমীকরণ – (4) নং সমীকরণ করে পাই,
(35x + 21y) – (35x + 30y) = 238 – 265
বা, 21y – 30y = – 27
বা, – 9y = – 27
বা, $y =\frac{-27}{-9}= 3$
y = 3 এই মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
5x + 3 × 3 = 34
বা, 5x = 34 – 9
বা, $x =\frac{25}{5}= 5$
উত্তর- একটি পেনের দাম 5 টাকা
একটি পেনসিলের দাম 3 টাকা।

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

তুলনামূলক পদ্ধতি

দুটি এক চলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণকে একটি চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে ও তুলনা করে সমাধন করার পদ্ধতিকে তুলনামূলক পদ্ধতি বলে।

নীচের সমীকরণদ্বয় তুলনামূলক পদ্ধতিতে সমাধান করি।

$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$
$\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}$
উত্তর- রৈখিক সমীকরণদ্বয় হল—
$\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}$
বা, 5(x + 1) = 4(y + 1)
বা, 5x + 5 = 4y + 4
বা, 5x – 4y = 4 – 5 = -1 —(1)
এবং $\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}$
বা, 2(x – 5) = 1(y – 5)
বা, 2x – 10 = y – 5
বা, 2x – y = -5 + 10 = 5 —(2)
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
5x = -1 + 4y
বা, $x = \frac{-1+4y}{5}$ —(3)
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
2x = 5 + y
বা, $x =\frac{5+y}{2}$ —(4)
(3) ও (4) নং সমীকরণে এর মান তুলনা করে পাই,
$\frac{(-1+4y)}{5}=\frac{(5+y)}{2}$
বা, 2 × (-1 + 4y) = 5 × (5 + y)
বা, -2 + 8y = 25 + 5y
বা, 8y – 5y = 25 + 2
বা, 3y = 27
বা, $y =\frac{27}{3}$
বা, y = 9
y = 9 (4) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই
$x =\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}$
বা, x = 7
উত্তর- নির্ণেয় সমাধান x = 7; y = 9

পরিবর্ত পদ্ধতি

একটি দুই চলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের একটি চলকে অপর চলের মাধ্যমে প্রকাশ করে অন্য দুই চলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণে ওই চলের পরিবর্তে বসিয়ে সমাধান করার পদ্ধতির নাম পরিবর্ত পদ্ধতি।

অমিতের কাকাবাবুর বর্তমান বয়স অমিতের বোনের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ। 10 বছর আগে কাকাবাবুর বয়স অমিতের বোনের বয়সের তিনগুণ ছিল। সহসমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স নির্ণয় কর। (পরিবর্ত পদ্ধতির সাহায্যে)

উত্তর- ধরি, অমিতের কাকাবাবুর বর্তমান বয়স x বছর এবং তার বোনের বর্তমান বয়স y বছর।
শর্তানুসারে,
x = 2y —(1)
10 বছর আগে কাকাবাবুর বয়স ছিল (x – 10) বছর
ও 10 বছর আগে বোনের বয়স ছিল (y – 10) বছর
∴ প্রশ্ন থেকে দেখছি,
(x – 10) = 3(y – 10) —(2)
(1) নং থেকে পাই x = 2y, এর এই মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(2y – 10) = 3(y – 10)
বা, 2y – 10 = 3y – 30
বা, (2y – 3y) = -30 + 10
বা, -y = -20
বা, y = 20
y = 20 এই মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = 2 × 20 = 40
উত্তর- অমিতের কাকাবাবুর বর্তমান বয়স 40 বছর এবং তার বোনের বর্তমান বয়স 20 বছর।

নবম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

বজ্রগুণন পদ্ধতি

দুটি একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ মনে কর,
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ —(1)
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$ —(2)
অপনয়ন পদ্ধতিতে ও এর মান নির্ণয় করে পাই,
$x =\frac{b_1c_2-b_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$ $(a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0)$ —(3)
$y =\frac{c_1a_2-c_2a_1}{a_1b_2-a_2b_1}$ $(a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0)$ —(4)
(3) ও (4) থেকে পাই,
∴ $\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}$
বা, $\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$

এই সূত্রের সাহায্যে দুটি দুই চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ সমাধান করার পদ্ধতিকে বজ্রগুণন পদ্ধতি বলে।

মোহিত এমন একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখবে যেটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 4 গুণ অপেক্ষা 3 বেশি এবং সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। তবে মোহিত কোন সংখ্যা লিখবে? (বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে)

উত্তর- ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y
∴ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল = (10 × y + x) = (10y + x)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = (y + x)
শর্তানুসারে,
(10y + x) = 4(y + x) + 3 —(1)
সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে,
একক স্থানীয় অঙ্ক হয় y
দশক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ সংখ্যাটি তখন হয় = (10 × x + y) = (10x + y)
সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি যে তৈরি হয় তা মূল সংখ্যার থেকে 18 বেশি।
(10x + y) = 18 + (10y + x) —(2)
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
10y + x = 4y + 4x + 3
বা, x – 4x + 10y – 4y – 3 = 0
বা, -3x + 6y – 3 = 0 —(3) $[a_1 = -3, b_1 = 6, c_1 = -3]$
(2) নং সমীকরণ থেকে পাই,
10x + y – x – 10y – 18 = 0
বা, 9x – 9y – 18 = 0
বা, 9(x – y – 2) = 0
বা, (x – y – 2) = 0 (∵ 9 ≠ 0) —(4) $[a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = -2]$
(3) ও (4) সমাধানের ক্ষেত্রে,
সূত্র থেকে পাই,
$\frac{x}{6\times(-2)-(-1)\times(-3)}=\frac{y}{(-3)\times 1-(-2)\times(-3)}=\frac{1}{(-3)\times(-1)-1\times 6}$
বা, $\frac{x}{-12-3}=\frac{y}{-3-6}=\frac{1}{3-6}$
বা, $\frac{x}{-15}=\frac{y}{-9}=\frac{1}{-3}$
বা, $\frac{x}{-15}=\frac{1}{-3}$ $\frac{y}{-9}=\frac{1}{-3}$
বা, $x = \frac{-15}{-3}= 5$ $y =\frac{-9}{-3} = 3$
∴ একক স্থানীয় অঙ্ক 5
দশক স্থানীয় অঙ্ক 3
উত্তর- নির্ণেয় সংখ্যাটি হল (10 × 3 + 5) = 35।
সমাপ্ত।