বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য অধ্যায়ের প্রয়োগ

গণিত – দশম শ্রেণি – বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

আমরা এর আগের পর্বে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য আলোচনা করেছি। এই পর্বে ঐ অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান দেখে নেব।

1. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB = 47°; ∠BAC এর মান কত হবে?

সমাধান-
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম।
∠XBC =82°, ∠ADB=47°
আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ
∠XBC+∠ADC=82°
∠BDC= ∠ADC-∠ADB=82°-47°=35°
একই চাপ CB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC এবং ∠BAC
সুতরাং, ∠BAC=∠BDC
বা, ∠BAC=35°
নির্ণেয় ∠BAC এর মান 35°

2. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা এটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, AC || BD।

প্রমাণ-
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, AC ∥ BD
অঙ্কন- P, Q বিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- X কেন্দ্রীয় বৃত্তের ACQP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∠ACQ+∠APQ=180° ………(i)
[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি 180°]
Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∠QDB+∠QPB=180° …….(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই (i) + (ii)
∠ACQ+∠APQ+∠QDB+∠QPB=180°
বা, ∠ACQ+∠QDB+180°=360° [ ∠APQ+∠QPB=180°]
বা, ∠ACQ+∠QDB=360°-180°
বা, ∠ACQ+∠QDB=180°
আমরা জানি, যদি দুটি সরলরেখাকে অপর কোণ সরলরেখা ছেদ করে এবং ভেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণ যদি 180° হয় তবে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে।
সুতরাং, AC ∥ BD [প্রমাণিত]
3. মহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ কর যে, △XAC ও △XBD এর দুটি করে কোণ সমান।

প্রমাণ-
প্রদত্তঃ- ACDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। X হল বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে, △XAC ও △XBD এর দুটি করে কোণ সমান।
প্রমাণঃ- ACDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার,
বহিঃস্থ কোণ ∠BDX = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠CAB (∠CAX)
আবার, বহিঃস্থ কোণ ∠DBX = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠ACD (∠ACX)
△XAC ও △XBD এর,
∠CAX =∠BDX
∠ACX = ∠DBX
সুতরাং, এটি প্রমাণিত যে, △XAC ও △XBD এর দুটি করে কোণ সমান।

4. △ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ কর যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র।

প্রমাণ-
প্রদত্ত- △ABC এর লম্ববিন্দু O
প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
অঙ্কন- D, E; E, F; F, D বিন্দুগুলি যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- O বিন্দু △ABC এর লম্ববিন্দু।
আমরা জানি, সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে
বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব পাদত্রিভুজের কোণগুলিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AD রেখা ∠FDE কে, BE রেখা ∠DEF কে ,
CF রেখা ∠EFD কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
△DEF এর কোণ তিনটির অন্তঃসমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
সুতরাং, O বিন্দু পাদত্রিভুজ △DEF এর অন্তঃকেন্দ্র। [প্রমাণিত]
সমাপ্ত।