দ্বিঘাত করণী – গাণিতিক সমস্যার সমাধান

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:দ্বিঘাত করণী (তৃতীয় পর্ব)

আগের দুটি পর্বে দ্বিঘাত করণীর ধারণা এবং করণীর যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ নিয়ে আলোচনা করেছি।

এই পর্বে আমরা দ্বিঘাত করণী সংক্রান্ত কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করবো।

প্রথম উদাহরণ

প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মুলদ সংখ্যায় পরিণত করো।

$3\sqrt2+\sqrt5, \sqrt2+1$
$(3\sqrt2+\sqrt5) \div (\sqrt2+1)$
$=\frac{3\sqrt2+\sqrt5}{\sqrt2+1}$
$=\frac{(3\sqrt2+\sqrt5)(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}$ [এখানে আমরা হরের করণী নিরসন করলাম]
$=\frac{3.2-3\sqrt2+\sqrt{10}-\sqrt5}{2-1}$
$=6-3\sqrt2+\sqrt{10}-\sqrt5$ [উত্তর]

দ্বিতীয় উদাহরণ

মান নির্ণয় করো।

ক) $\frac{2\sqrt5+1}{\sqrt5+1}-\frac{4\sqrt5-1}{\sqrt5-1}$

সমাধানঃ

$=\frac{(2\sqrt5+1)(\sqrt5-1)-(4\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}$
$=\frac{(2.5-2\sqrt5+\sqrt5-1)-(4.5+4\sqrt5-\sqrt5-1)}{(\sqrt5)^2-1^2}$
$=\frac{10- \sqrt5-1-20-3 \sqrt5+1}{5-1}$
$=\frac{-10-4\sqrt5}{4}$
$=\frac{-2(5+2\sqrt5)}{4}$
$=-\frac{5+2\sqrt5}{2}$ [উত্তর]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

খ) $\frac{8+3\sqrt2}{3+\sqrt5}-\frac{8-3\sqrt2}{3-\sqrt5}$

সমাধানঃ

$=\frac{(8+3\sqrt2)(3-\sqrt5)-(8-3\sqrt2)(3+\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$
$=\frac{(24-8\sqrt5+9\sqrt2-3\sqrt{10})-(24+8\sqrt5-9\sqrt2-3\sqrt{10})}{3^2-(\sqrt5)^2}$
$=\frac{24-8\sqrt5+9\sqrt2-3\sqrt{10}-24-8\sqrt5+9\sqrt2+3\sqrt{10}}{9-5}$
$=\frac{18\sqrt2-16\sqrt5}{4}$
$=\frac{2(9\sqrt2-8\sqrt5)}{4}$
$=\frac{9\sqrt2-8\sqrt5}{2}$ [উত্তর]

গ) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

সমাধানঃ

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$
$=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$
$=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}$
$=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}$
$=\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})-\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})+\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{12}-\sqrt{6}-\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{18}-\sqrt{12}$
$=0$
উত্তর – নির্ণেয় মান 0

তৃতীয় উদাহরণ

যদি $a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ ও $b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$ হয়, তবে নিচের মানগুলি নির্ণয় করো।

(i) $\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}$
(ii) $\frac{(a-b)^{^{3}}}{(a+b)^{3}}$
(iii) $\frac{3a^{2}+5ab+3b^{2}}{3a^{2}-5ab+3b^{2}}$
(iv) $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}$

সমাধানঃ
$a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ , $b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$
$a+b=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$
$=\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}-1)^{2}}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}$
$=\frac{5+1+ 2\sqrt5+ 5+1 -2\sqrt5}{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}$
$=\frac{12}{4}$
$=3$
$ab=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=1$
$a-b=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$
$=\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}-(\sqrt{5}-1)^{2}}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}$
$=\frac{4.\sqrt{5}.1}{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}$
$=\frac{4\sqrt{5}}{5-1}$
$=\frac{4\sqrt{5}}{4}$
$=\sqrt{5}$

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

(i) $\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}$
$=\frac{a^{2}+b^{2}+ab}{a^{2}+b^{2}-ab}$
$=\frac{(a+b)^{2}-2ab+ab}{(a+b)^{2}-2ab-ab}$
$=\frac{(a+b)^{2}-ab}{(a+b)^{2}-3ab}$
$=\frac{3^{2}-1}{3^{2}-3.1}$
$=\frac{9-1}{9-3}$
$=\frac{8}{6}$
$=\frac{4}{3}$
$=1\frac{1}{3}$

(ii) $\frac{(a-b)^{^{3}}}{(a+b)^{3}}$
$=\frac{(a-b)^{3}}{(a+b)^{3}}$
$=\frac{(\sqrt{5})^{2}}{3^{3}}$
$=\frac{5\sqrt{5}}{27}$

(iii) $\frac{3a^{2}+5ab+3b^{2}}{3a^{2}-5ab+3b^{2}}$
$=\frac{3a^{2}+3b^{2}+5ab}{3a^{2}+3b^{2}-5ab}$
$=\frac{3(a^{2}+b^{2})+5ab}{3(a^{2}+b^{2})-5ab}$
$=\frac{3(3^{2}-2.1)+5.1}{3(3^{2}-2.1)-5.1}$
$=\frac{3(9-2)+5}{3(9-2)-5}$
$=\frac{3.7+5}{3.7-5}$
$=\frac{21+5}{21-5}$
$=\frac{26}{16}$
$=\frac{13}{8}$

(iv) $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}$
$=\frac{(a+b)^{3}-3ab(a+b)}{(a-b)^{3}+3ab(a-b)}$
$=\frac{3^{3}-3.1.3}{(\sqrt{5})^{3}+3.1.\sqrt{5}}$
$=\frac{27-9}{5\sqrt{5}+3\sqrt{5}}$
$=\frac{18}{8\sqrt{5}}$
$=\frac{18\sqrt{5}}{8\sqrt{5}\times \sqrt{5}}$
$=\frac{18\sqrt{5}}{8\times 5}$
$=\frac{9\sqrt{5}}{20}$