surds-math-problems
Madhyamik

দ্বিঘাত করণী – গাণিতিক সমস্যার সমাধান

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:দ্বিঘাত করণী (তৃতীয় পর্ব)


আগের দুটি পর্বে দ্বিঘাত করণীর ধারণা এবং করণীর যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ নিয়ে আলোচনা করেছি।

এই পর্বে আমরা দ্বিঘাত করণী সংক্রান্ত কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করবো।

প্রথম উদাহরণ

প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মুলদ সংখ্যায় পরিণত করো।

3\sqrt2+\sqrt5, \sqrt2+1
(3\sqrt2+\sqrt5) \div (\sqrt2+1)
=\frac{3\sqrt2+\sqrt5}{\sqrt2+1}
=\frac{(3\sqrt2+\sqrt5)(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)} [এখানে আমরা হরের করণী নিরসন করলাম]
=\frac{3.2-3\sqrt2+\sqrt{10}-\sqrt5}{2-1}
=6-3\sqrt2+\sqrt{10}-\sqrt5 [উত্তর]

jump-magazine-subscription

দ্বিতীয় উদাহরণ

মান নির্ণয় করো।

ক) \frac{2\sqrt5+1}{\sqrt5+1}-\frac{4\sqrt5-1}{\sqrt5-1}

সমাধানঃ

=\frac{(2\sqrt5+1)(\sqrt5-1)-(4\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}
=\frac{(2.5-2\sqrt5+\sqrt5-1)-(4.5+4\sqrt5-\sqrt5-1)}{(\sqrt5)^2-1^2}
=\frac{10- \sqrt5-1-20-3 \sqrt5+1}{5-1}
=\frac{-10-4\sqrt5}{4}
=\frac{-2(5+2\sqrt5)}{4}
=-\frac{5+2\sqrt5}{2} [উত্তর]


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

খ) \frac{8+3\sqrt2}{3+\sqrt5}-\frac{8-3\sqrt2}{3-\sqrt5}

সমাধানঃ

=\frac{(8+3\sqrt2)(3-\sqrt5)-(8-3\sqrt2)(3+\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}
=\frac{(24-8\sqrt5+9\sqrt2-3\sqrt{10})-(24+8\sqrt5-9\sqrt2-3\sqrt{10})}{3^2-(\sqrt5)^2}
=\frac{24-8\sqrt5+9\sqrt2-3\sqrt{10}-24-8\sqrt5+9\sqrt2+3\sqrt{10}}{9-5}
=\frac{18\sqrt2-16\sqrt5}{4}
=\frac{2(9\sqrt2-8\sqrt5)}{4}
=\frac{9\sqrt2-8\sqrt5}{2} [উত্তর]

গ) \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

সমাধানঃ

\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}
=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}
=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}
=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}
=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}-\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}+\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}
=\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})-\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})+\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})
=\sqrt{12}-\sqrt{6}-\sqrt{18}+\sqrt{6}+\sqrt{18}-\sqrt{12}
=0
উত্তর – নির্ণেয় মান 0

তৃতীয় উদাহরণ

যদি a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} হয়, তবে নিচের মানগুলি নির্ণয় করো।

(i) \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}
(ii) \frac{(a-b)^{^{3}}}{(a+b)^{3}}
(iii) \frac{3a^{2}+5ab+3b^{2}}{3a^{2}-5ab+3b^{2}}
(iv) \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}

সমাধানঃ
a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}, b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}
a+b=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}
=\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}-1)^{2}}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}
=\frac{5+1+ 2\sqrt5+ 5+1 -2\sqrt5}{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}
=\frac{12}{4}
=3
ab=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=1
a-b=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}
=\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}-(\sqrt{5}-1)^{2}}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}
=\frac{4.\sqrt{5}.1}{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}
=\frac{4\sqrt{5}}{5-1}
=\frac{4\sqrt{5}}{4}
=\sqrt{5}


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

(i) \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}
=\frac{a^{2}+b^{2}+ab}{a^{2}+b^{2}-ab}
=\frac{(a+b)^{2}-2ab+ab}{(a+b)^{2}-2ab-ab}
=\frac{(a+b)^{2}-ab}{(a+b)^{2}-3ab}
=\frac{3^{2}-1}{3^{2}-3.1}
=\frac{9-1}{9-3}
=\frac{8}{6}
=\frac{4}{3}
=1\frac{1}{3}

(ii) \frac{(a-b)^{^{3}}}{(a+b)^{3}}
=\frac{(a-b)^{3}}{(a+b)^{3}}
=\frac{(\sqrt{5})^{2}}{3^{3}}
=\frac{5\sqrt{5}}{27}

(iii) \frac{3a^{2}+5ab+3b^{2}}{3a^{2}-5ab+3b^{2}}
=\frac{3a^{2}+3b^{2}+5ab}{3a^{2}+3b^{2}-5ab}
=\frac{3(a^{2}+b^{2})+5ab}{3(a^{2}+b^{2})-5ab}
=\frac{3(3^{2}-2.1)+5.1}{3(3^{2}-2.1)-5.1}
=\frac{3(9-2)+5}{3(9-2)-5}
=\frac{3.7+5}{3.7-5}
=\frac{21+5}{21-5}
=\frac{26}{16}
=\frac{13}{8}

(iv) \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}
=\frac{(a+b)^{3}-3ab(a+b)}{(a-b)^{3}+3ab(a-b)}
=\frac{3^{3}-3.1.3}{(\sqrt{5})^{3}+3.1.\sqrt{5}}
=\frac{27-9}{5\sqrt{5}+3\sqrt{5}}
=\frac{18}{8\sqrt{5}}
=\frac{18\sqrt{5}}{8\sqrt{5}\times \sqrt{5}}
=\frac{18\sqrt{5}}{8\times 5}
=\frac{9\sqrt{5}}{20}

অধ্যায় সমাপ্ত।


লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।