onupat-somanupater-ganitik-somssar-somadhan
Madhyamik

অনুপাত ও সমানুপাত – গাণিতিক সমস্যার সমাধান | গণিত প্রকাশ

Posted on Author JUMP Magazine Comments Off on অনুপাত ও সমানুপাত – গাণিতিক সমস্যার সমাধান | গণিত প্রকাশ
শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:অনুপাত-সমানুপাত (তৃতীয়পর্ব)

আগের দুটি পর্বে আমরা অনুপাত এবং সামানুপাতের ধারণা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা ঐ দুটি ধারণার উপর ভিত্তি করে কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করবো।

প্রথম উদাহরণ

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2(x+y+z)}{a+b+c}= \frac{x+y+z}{a+b+c}…………..(i)

আবার, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{(x+y)+(y+z)-(z+x)}{(3a-b)+(3b-c)-(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2y}{4a+2b-4c}=\frac{y}{2a+b-2c}=\frac{by}{2ab+b^2-2bc} [লব ও হর কে b দ্বারা গুন করে পাই]……….(ii)

অনুরুপ ভাবে, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{(x+y)-(y+z)+(z+x)}{(3a-b)-(3b-c)+(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

=\frac{2x}{2a-4b+4c}=\frac{ax}{a^2-2ab+2ac} [লব হরকে a দিয়ে গুন করে পাই]…………(iii)

একই ভাবে,

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{cz}{c^2-2ac+2bc}………(iv)

(ii)+(iii)+(iv) করে পাই,

প্রতিটি অনুপাত= \frac{ax+by+cz}{a^2-2ab+2ac+2ab+b^2-2bc+c^2-2ac+2bc}

=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}……………..(v)

(i) ও (v) থেকে পাই,

\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2} [প্রমাণিত]

jump magazine smart note book

দ্বিতীয় উদাহরণ

যদি \frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v} হয়, তবে দেখাই যে, \frac{x}{y}=\frac{u}{v}

\frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v}

বা, \frac{3x+4y}{3x-4y}= \frac{3u+4v}{3u-4v}

বা, \frac{(3x+4y)+(3x-4y)}{(3x+4y)-(3x-4y)}=\frac{(3u+4v)+(3u-4v)}{(3u+4v)-(3u-4v)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}

বা, \frac{x}{y}=\frac{u}{v} [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

তৃতীয় উদাহরণ

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d) হলে, প্রমাণ করি যে, a:b=c:d

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)

বা, \frac{(a+b+c+d)}{(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)}{(a-b-c+d)}

বা, \frac{(a+b+c+d)+(a+b-c-d)}{(a+b+c+d)-(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)+(a-b-c+d)}{(a-b+c-d)-(a-b-c+d)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}

বা, \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}

বা, \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}

বা, \frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}

বা, \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}

বা, \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

\therefore a:b=c:d [প্রমাণিত]

চতুর্থ উদাহরণ

x^{2}:(by+cz)= y^{2}:(cz+ax)= z^{2}:(ax+by)=1 হলে দেখাও যে, \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1

\frac{x^{2}}{by+cz}=\frac{y^{2}}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1

\therefore x^{2}=by+cz, y^{2}=cz+ax, z^{2}=ax+by

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}

= \frac{ax}{ax+x^{2}}+\frac{by}{by+y^{2}}+\frac{cz}{cz+z^{2}}=1

= \frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}

=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1 [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

পঞ্চম উদাহরণ

\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y} হলে প্রমাণ করি, \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

ধরি, \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k [ধরি, k\neq0]

\therefore a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)

\therefore (a-b)=k(y+z)-k(z+x)=k(y-x)

(c-a)=k(x+y)-k(y+z)=k(x-z)

(b-c)=k(z+x)-k(x+y)=k(z-y)

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{k(y+z)k(z-y)}{(y+z)(y-z)}=-k^{2}

\therefore \frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{k(z+x)k(x-z)}{(z+x)(z-x)}=-k^{2}

\therefore \frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}=\frac{k(x+y)k(y-x)}{(x+y)(x-y)}=-k^{2}

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

[প্রমাণিত]

jump magazine smart note book

আশা করছি, অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা তোমাদের কাছে অনেকটাই স্পষ্ট হয়েছে।

অধ্যায় সমাপ্ত।

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।


Join JUMP Magazine Telegram

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

X_M_5C

JUMP Magazine
https://jumpmagazine.in

Related Articles

moler-dharona-physical-science-madhyamik
Madhyamik

রাসায়নিক গণনা – মোলের ধারণা

Posted on Author Diptendu Bhattacharya

বিষয়: ভৌতবিজ্ঞান – দশম শ্রেণি –অধ্যায়: রাসায়নিক গণনা (তৃতীয় পর্ব) আমরা আগের পর্বে দেখেছিলাম যে গ্যাসের আয়তন দিয়ে কিভাবে রাসায়নিক গণনা করা যায়। আজ আমরা দেখব কিভাবে মোলের ধারণা রাসায়নিক গণনাকে সমৃদ্ধ করছে। প্রথম পর্বে আমরা ভরের নিত্যতা সূত্রের প্রয়োগ দেখেছিলাম। দেখেছিলাম যে বিক্রিয়ার পূর্বে ও বিক্রিয়ার পরে মোট ভর অপরিবর্তিত থাকে। এবার মোলের ধারণা […]

niyoto-bayu-samoyik-bayur-dharona
Madhyamik

নিয়ত বায়ু ও সাময়িক বায়ুর ধারণা

Posted on Author JUMP Magazine

ভূগোল – দশম শ্রেণি – বায়ুমণ্ডল (অষ্টম পর্ব) আগের পর্বে আমরা বায়ুচাপের ধারণা সম্পর্কে আলোচনা করেছি। আজকের পর্বে আমরা নিয়ত বায়ু ও সাময়িক বায়ুর ধারণা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব। নিয়ত বায়ু কাকে বলে? পৃথিবীর স্থায়ী চাপ বলয় গুলির অবস্থানের উপর ভিত্তি করে ভূপৃষ্ঠের সমান্তরালে একটি নির্দিষ্ট দিকে সারাবছর নিয়মিতভাবে যে বায়ু প্রবাহিত হয়, তাকে নিয়ত […]

prani-hormon
Madhyamik

প্রাণী হরমোন

Posted on Author Nandita Mukherjee

জীবনবিজ্ঞান – দশম শ্রেণি – প্রাণীদের সাড়াপ্রদান ও রাসায়নিক সমন্বয় (প্রাণী হরমোন)| এর আগের দুটি পর্বে আমরা উদ্ভিদের চলন এবং উদ্ভিদ হরমোন নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা প্রাণী হরমোন নিয়ে আলোচনা করবো। আমরা প্রথমেই জেনে নেব প্রাণী হরমোন কাকে বলে? যে জৈব রাসায়নিক পদার্থ অনাল গ্রন্থি বা অন্তঃক্ষরা গ্রন্থি থেকে ক্ষরিত হয়ে রক্ত […]