onupat-somanupater-ganitik-somssar-somadhan
Madhyamik

অনুপাত ও সমানুপাত – গাণিতিক সমস্যার সমাধান | গণিত প্রকাশ

Posted on Author JUMP Magazine Comments Off on অনুপাত ও সমানুপাত – গাণিতিক সমস্যার সমাধান | গণিত প্রকাশ
শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:অনুপাত-সমানুপাত (তৃতীয়পর্ব)

আগের দুটি পর্বে আমরা অনুপাত এবং সামানুপাতের ধারণা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা ঐ দুটি ধারণার উপর ভিত্তি করে কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করবো।

প্রথম উদাহরণ

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2(x+y+z)}{a+b+c}= \frac{x+y+z}{a+b+c}…………..(i)

আবার, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{(x+y)+(y+z)-(z+x)}{(3a-b)+(3b-c)-(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2y}{4a+2b-4c}=\frac{y}{2a+b-2c}=\frac{by}{2ab+b^2-2bc} [লব ও হর কে b দ্বারা গুন করে পাই]……….(ii)

অনুরুপ ভাবে, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{(x+y)-(y+z)+(z+x)}{(3a-b)-(3b-c)+(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

=\frac{2x}{2a-4b+4c}=\frac{ax}{a^2-2ab+2ac} [লব হরকে a দিয়ে গুন করে পাই]…………(iii)

একই ভাবে,

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{cz}{c^2-2ac+2bc}………(iv)

(ii)+(iii)+(iv) করে পাই,

প্রতিটি অনুপাত= \frac{ax+by+cz}{a^2-2ab+2ac+2ab+b^2-2bc+c^2-2ac+2bc}

=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}……………..(v)

(i) ও (v) থেকে পাই,

\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2} [প্রমাণিত]

jump magazine smart note book

দ্বিতীয় উদাহরণ

যদি \frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v} হয়, তবে দেখাই যে, \frac{x}{y}=\frac{u}{v}

\frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v}

বা, \frac{3x+4y}{3x-4y}= \frac{3u+4v}{3u-4v}

বা, \frac{(3x+4y)+(3x-4y)}{(3x+4y)-(3x-4y)}=\frac{(3u+4v)+(3u-4v)}{(3u+4v)-(3u-4v)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}

বা, \frac{x}{y}=\frac{u}{v} [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

তৃতীয় উদাহরণ

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d) হলে, প্রমাণ করি যে, a:b=c:d

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)

বা, \frac{(a+b+c+d)}{(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)}{(a-b-c+d)}

বা, \frac{(a+b+c+d)+(a+b-c-d)}{(a+b+c+d)-(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)+(a-b-c+d)}{(a-b+c-d)-(a-b-c+d)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}

বা, \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}

বা, \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}

বা, \frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}

বা, \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}

বা, \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

\therefore a:b=c:d [প্রমাণিত]

চতুর্থ উদাহরণ

x^{2}:(by+cz)= y^{2}:(cz+ax)= z^{2}:(ax+by)=1 হলে দেখাও যে, \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1

\frac{x^{2}}{by+cz}=\frac{y^{2}}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1

\therefore x^{2}=by+cz, y^{2}=cz+ax, z^{2}=ax+by

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}

= \frac{ax}{ax+x^{2}}+\frac{by}{by+y^{2}}+\frac{cz}{cz+z^{2}}=1

= \frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}

=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1 [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

পঞ্চম উদাহরণ

\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y} হলে প্রমাণ করি, \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

ধরি, \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k [ধরি, k\neq0]

\therefore a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)

\therefore (a-b)=k(y+z)-k(z+x)=k(y-x)

(c-a)=k(x+y)-k(y+z)=k(x-z)

(b-c)=k(z+x)-k(x+y)=k(z-y)

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{k(y+z)k(z-y)}{(y+z)(y-z)}=-k^{2}

\therefore \frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{k(z+x)k(x-z)}{(z+x)(z-x)}=-k^{2}

\therefore \frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}=\frac{k(x+y)k(y-x)}{(x+y)(x-y)}=-k^{2}

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

[প্রমাণিত]

jump magazine smart note book

আশা করছি, অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা তোমাদের কাছে অনেকটাই স্পষ্ট হয়েছে।

অধ্যায় সমাপ্ত।

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।


Join JUMP Magazine Telegram

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

X_M_5C

JUMP Magazine
https://jumpmagazine.in

Related Articles

borjyer-dharona-ebong-poribesher-upor-probhab
Madhyamik

বর্জ্যের ধারণা এবং পরিবেশের উপর প্রভাব

Posted on Author JUMP Magazine

ভূগোল – দশম শ্রেণি – বর্জ্য ব্যবস্থাপনা (প্রথম পর্ব) আজকের পর্বে আমরা বর্জ্যের ধারণা এবং পরিবেশের উপর প্রভাব নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করবো। বাড়ি বা বিদ্যালয় বা হাসপাতাল বা অন্য যে কোনো জায়গায় পরিবেশ পরিস্কার ও পরিছন্ন হওয়া অবশ্যই দরকার। এজন্য প্রতিদিন এইসব জায়গায় যত আবর্জনা জমে, সব পরিষ্কার করা হয়। কোনো জিনিস ব্যবহার করার পর […]

onghsidari-karbar
Madhyamik

অংশীদারি কারবার

Posted on Author Aditi Sarkar

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: অংশীদারি কারবার (প্রথম পর্ব) অনেকদিন ধরেই রঞ্জন ব্যবসা করার কথা ভাবছিল । সেইসময় তার বাড়িতে তার এক দুঃসম্পর্কের দাদা রাহুল ঘুরতে এলেন। রাহুল ছিলেন MBA পাস করা একজন প্রতিষ্ঠিত ব্যবসায়ী। রাহুল যখন রঞ্জনের মনের কথা জানতে পারলো, তখন সে রঞ্জনকে ব্যবসা করার জন্য উৎসাহ দিল। রঞ্জনের ইচ্ছা […]

Father's-Help-wb-class-10
Madhyamik

Father’s Help | Bengali Meaning

Posted on Author JUMP Magazine

শ্রেণি – দশম | বিষয়: English । Lesson: Father’s Help (Unit 1) A Brief Introduction to the Author Rasipuram Krishnaswami Iyer Narayanaswami or simply R.K.Narayan was born on 10th October 1906 in Madras. R.K.Narayan completed graduation from Maharaja College of Mysore in 1930 and he was one of the famous Indian writers who wrote in […]