ratio-image
Madhyamik

অনুপাতের ধারণা

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:অনুপাত-সমানুপাত (প্রথম পর্ব)


‘অনুপাত’ এই শব্দটির সাথে আমাদের পরিচিতি দীর্ঘকাল ধরে। এই অধ্যায়ে আমরা অনুপাত এবং সমানুপাতের বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ ধারণার সাথে পরিচিতি লাভ করবো।

 অনুপাত বা Ratio কাকে বলে?

একটি রাশি অপর একটি সমজাতীয় রাশির কতগুন বা কতভাগ তা তুলনা করার পদ্ধতিকে গণিতের পরিভাষায় বলা হয় অনুপাতে প্রকাশ করা।

অনুপাতের প্রতীক “:” a:b অনুপাতকে ‘a is to b’ রূপে পড়া হয়।

দুটি অশূন্য সংখ্যা বা দুটি সমজাতীয় রাশির সাংখ্যমান ab (b\neq0) এর অনুপাতের মান a:b [a:b =\frac{a}{b}]

একটা উদাহরণ দিয়ে ব্যাপারটা বুঝে নেওয়া যাক,

ধরি, একটি বাক্সে মোট 15টি বল আছে। তার মধ্যে 8 টি সাদা বল এবং 7 টি কালো বল আছে।
তাহলে, আমরা বলতে পারি যে, সাদা বল ও কালো বলের সংখ্যার অনুপাত = 8:7,
আবার, মোট বলের সংখ্যা হল 15। সুতরাং, সাদা বল ও মোট বলের সংখ্যার অনুপাত= 8:15, কালো বল ও মোট বলের সংখ্যার অনুপাত = 7:15

jump-magazine-subscription

অনুপাতের কয়েকটি পরিভাষা ও নিয়ম

পূর্বপদ ও উত্তরপদ

a:b অনুপাতের aকে (অর্থাৎ প্রথম পদটিকে) পূর্বপদ [Antecedent] ও b কে (অর্থাৎ দ্বিতীয় পদটিকে) উত্তরপদ [Consequent] বলে।

উদাহরণ, 5:6 এই অনুপাতের, 5 হল পূর্বপদ এবং 6 হল উত্তরপদ।
মনে রাখতে হবে, কোনো অনুপাতের পদ দুটিকে শূন্য বাদে একই সংখ্যা দিয়ে গুন বা ভাগ করলে অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয় না।

অর্থাৎ, a:b =\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}= \frac{ak}{bk}= ak:bk

উদারহরণ,4:5 =\frac{4}{5}=\frac{4\times 2}{5\times 2}=\frac{8}{10}=8:10

এবং, a:b= \frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{k}}{\frac{b}{k}}= \frac{a}{k}:\frac{b}{k} [k\neq 0]

অনুপাতকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে লেখা হয়।

যে কোনো অনুপাতকে সবসময় অনুপাতের উভয় পদের সাধারণ উৎপাদক (≠1) বর্জিত করে লেখা হয়। অর্থাৎ, যতটা সম্ভব সংক্ষিপ্ত করে লেখা হয়।
যেমন, 40:30 = 4:3 [উভয় পদের সাধারন উৎপাদক 10 বর্জিত করে বা উভয় পদকে 10 দিয়ে ভাগ করে]।


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

অনুপাত শুধুমাত্র সংখ্যা দ্বারা প্রকাশিত হয়, এর কোনো একক থাকে না।

যেমন, 10 কেজি চাল ও 7 কেজি 500 গ্রাম গমের অনুপাত = 10 কেজি : 7 কেজি 500 গ্রাম
= 10000 গ্রাম : 7500 গ্রাম
= 10000:7500
= 100 : 75 = 4:3

দুটি ভিন্ন ভিন্ন রাশির অনুপাতের অস্তিত্ব নেই।

যেমন, 2টাকা : 3সেমি এর কোনো অস্তিত্ব নেই, কারন মূল্যের একক টাকা ও দৈর্ঘ্যের একক সেমি দুটি ভিন্ন ভিন্ন রাশি।

অনুপাতকে অনেক সময় ভগ্নাংশ আকারে লেখা হলেও, অনুপাত ও ভগ্নাংশ দুটি পৃথক ধারনা।
এসো দেখে নেওয়া যাক, দুটি ধারণা কিভাবে আলাদা।

অনুপাত ও ভগ্নাংশের তুলনাঃ

অনুপাত

অনুপাতে দশমিকের ধারনা প্রযোজ্য নয়।
অনুপাতে দুই-এর বেশি সংখ্যক রাশির অনুপাত প্রকাশ করা যায় ( a,b,c এর অনুপাত = a:b:c)

ভগ্নাংশ

ভগ্নাংশের নির্দিষ্ট দশমিক মান থাকে।
ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে এরূপ আকার অর্থহীন।

অনুপাতের প্রকারভেদ:

সাম্যানুপাত ও বৈষম্যানুপাত

কোনো অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ সমান হলে ঐ অনুপাতকে সাম্যানুপাত এবংপূর্বপদ ও উত্তরপদ অসমান হলে ঐ অনুপাতকে বৈষম্যানুপাত বলে।
অর্থাৎ, a:b একটি সাম্যানুপাত যদি a=b হয় (যেমন, 2:2, 5:5), ও একটি বৈষম্যানুপাত যদি a\neq bহয় (যেমন, 2:5, 7:8)।

লঘু অনুপাত ও গুরু অনুপাত:

কোনো অনুপাতের পূর্বপদ, উত্তরপদের থেকে ছোটো হলে, ঐ অনুপাতকে লঘু অনুপাত এবংপূর্বপদ, উত্তরপদের থেকে বড় হলে, ঐ অনুপাতকে গুরু অনুপাত বলে।
অর্থাৎ, a:b অনুপাতটি লঘু অনুপাত হবে যদি

a<b হয় (যেমন, 2:3, 5:8) ও গুরুঅনুপাত হবে যদি a>b হয় (যেমন 4:3, 7:5)।


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত:

কোনো অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তর পদ পরস্পর স্থান পরিবর্তন করে যে নতুন অনুপাত তৈরি হয়, ঐ অনুপাতকে পূর্বের অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত বলে।
অর্থাৎ, a:bএর ব্যস্ত অনুপাত b:a, 4:5 এর ব্যস্ত অনুপাত 5:4

যৌগিক বা মিশ্র অনুপাত

দুই বা ততোধিক প্রদত্ত অনুপাতের পূর্বপদগুলির গুনফলকে পূর্বপদ এবং উত্তর পদগুলির গুনফলকে উত্তর পদ ধরে যে অনুপাত পাওয়া যাবে, ঐ অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাত গুলির যৌগিক অনুপাত বা মিশ্রঅনুপাত বলে।
অর্থাৎ, a:b ও c:d এর যৌগিক অনুপাত ac : bd,

1:2 , 3:4 , 5:1 এর যৌগিক অনুপাত (1×3×5):(2×4×1) = 15:8
Jump_Plus_digital_mock_test_X2_web_banner

এবার আমরা কয়েকটি গাণিতিক উদাহরণের মাধ্যমে অনুপাতের ধারণাগুলি পরিষ্কার করে নেব।

উদাহরণ – ১।

p^{2}q:r , q^{2}r:p , r^{2}p:q এই অনুপাত গুলির মিশ্র অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত কি হবে?

[আমরা মিশ্র অনুপাতের কথা জেনেছি, এক্ষেত্রে তিনটি ভিন্ন অনুপাত দেওয়া হয়েছে। এক-একটি অনুপাতের পদের সাথে অন্যপদ গুণ করা যেতে পারে]

p^{2}q:r , q^{2}r:p , r^{2}p:q এর মিশ্র অনুপাত

= (p^{2}q\times q^{2}r\times r^{2}p ):( r\times p\times q )

= p^{3}q^{3}r^{3}:pqr

= p^{2}q^{2}r^{2}:1 [ পূর্ব ও উত্তরপদকে pqr দিয়ে ভাগ করে পাই]

\therefore p^{2}q^{2}r^{2}:1 এর ব্যস্ত অনুপাত = 1:p^{2}q^{2}r^{2}

উদারহরণ – ২ ।

x:y = 3:4 হলে, (3y-x):(2x+y)= কত হবে?

x:y = 3:4 বা \frac{x}{y}=\frac{3}{4}

ধরি, x = 3p , y = 4p [যেখানে, pএকটি বাস্তব সংখ্যা ও p\neq 0 ]

\therefore (3y-x) : (2x+y)= \frac{3y-x}{2x+y} =\frac{3.4p-3p}{2.3p+4p}

= \frac{12p-3p}{6p+4p} =\frac{9p}{10p} =\frac{9}{10}

\therefore (3y-x) : (2x+y) = 9:10

প্রথম পর্ব সমাপ্ত। পরবর্তী পর্ব → সমানুপাতের ধারণা


লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

Leave a Reply