onupat-somanupater-ganitik-somssar-somadhan
Madhyamik

অনুপাত ও সমানুপাত – গাণিতিক সমস্যার সমাধান | গণিত প্রকাশ

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:অনুপাত-সমানুপাত (তৃতীয়পর্ব)

আগের দুটি পর্বে আমরা অনুপাত এবং সামানুপাতের ধারণা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা ঐ দুটি ধারণার উপর ভিত্তি করে কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করবো।

প্রথম উদাহরণ

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2(x+y+z)}{a+b+c}= \frac{x+y+z}{a+b+c}…………..(i)

আবার, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}= \frac{(x+y)+(y+z)-(z+x)}{(3a-b)+(3b-c)-(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

\frac{2y}{4a+2b-4c}=\frac{y}{2a+b-2c}=\frac{by}{2ab+b^2-2bc} [লব ও হর কে b দ্বারা গুন করে পাই]……….(ii)

অনুরুপ ভাবে, \frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{(x+y)-(y+z)+(z+x)}{(3a-b)-(3b-c)+(3c-a)} [সংযোজন প্রক্রিয়া]

=\frac{2x}{2a-4b+4c}=\frac{ax}{a^2-2ab+2ac} [লব হরকে a দিয়ে গুন করে পাই]…………(iii)

একই ভাবে,

\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{cz}{c^2-2ac+2bc}………(iv)

(ii)+(iii)+(iv) করে পাই,

প্রতিটি অনুপাত= \frac{ax+by+cz}{a^2-2ab+2ac+2ab+b^2-2bc+c^2-2ac+2bc}

=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}……………..(v)

(i)(v) থেকে পাই,

\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2} [প্রমাণিত]

jump magazine smart note book

দ্বিতীয় উদাহরণ

যদি \frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v} হয়, তবে দেখাই যে, \frac{x}{y}=\frac{u}{v}

\frac{3x+4y}{3u+4v}= \frac{3x-4y}{3u-4v}

বা, \frac{3x+4y}{3x-4y}= \frac{3u+4v}{3u-4v}

বা, \frac{(3x+4y)+(3x-4y)}{(3x+4y)-(3x-4y)}=\frac{(3u+4v)+(3u-4v)}{(3u+4v)-(3u-4v)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}

বা, \frac{x}{y}=\frac{u}{v} [প্রমাণিত]


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

তৃতীয় উদাহরণ

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d) হলে, প্রমাণ করি যে, a:b=c:d

(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)

বা, \frac{(a+b+c+d)}{(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)}{(a-b-c+d)}

বা, \frac{(a+b+c+d)+(a+b-c-d)}{(a+b+c+d)-(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)+(a-b-c+d)}{(a-b+c-d)-(a-b-c+d)}

[সমানুপাতের যোগ- ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]

বা, \frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}

বা, \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}

বা, \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}

বা, \frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}

বা, \frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}

বা, \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

\therefore a:b=c:d [প্রমাণিত]

চতুর্থ উদাহরণ

x^{2}:(by+cz)= y^{2}:(cz+ax)= z^{2}:(ax+by)=1 হলে দেখাও যে, \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1

\frac{x^{2}}{by+cz}=\frac{y^{2}}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1

\therefore x^{2}=by+cz, y^{2}=cz+ax, z^{2}=ax+by

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}

= \frac{ax}{ax+x^{2}}+\frac{by}{by+y^{2}}+\frac{cz}{cz+z^{2}}=1

= \frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+ax+by}

=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1

\therefore \frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1 [প্রমাণিত]


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

পঞ্চম উদাহরণ

\frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y} হলে প্রমাণ করি, \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

ধরি, \frac{a}{y+z}=\frac{b}{z+x}=\frac{c}{x+y}=k [ধরি, k\neq0]

\therefore a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)

\therefore (a-b)=k(y+z)-k(z+x)=k(y-x)

(c-a)=k(x+y)-k(y+z)=k(x-z)

(b-c)=k(z+x)-k(x+y)=k(z-y)

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{k(y+z)k(z-y)}{(y+z)(y-z)}=-k^{2}

\therefore \frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{k(z+x)k(x-z)}{(z+x)(z-x)}=-k^{2}

\therefore \frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}=\frac{k(x+y)k(y-x)}{(x+y)(x-y)}=-k^{2}

\therefore \frac{a(b-c)}{y^{2}-z^{2}}=\frac{b(c-a)}{z^{2}-x^{2}}=\frac{c(a-b)}{x^{2}-y^{2}}

[প্রমাণিত]

jump magazine smart note book

আশা করছি, অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা তোমাদের কাছে অনেকটাই স্পষ্ট হয়েছে।

অধ্যায় সমাপ্ত।


লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।


এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।


এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



Join JUMP Magazine Telegram


JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

X_M_5C