সমানুপাতের ধারণা

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:অনুপাত-সমানুপাত (দ্বিতীয় পর্ব)

আগের পর্বে আমরা অনুপাত নিয়ে আলোচনা করেছিলাম। এই পর্বে আমরা সমানুপাতের ধারণা নিয়ে আলোচনা করবো।

প্রথমে আমরা জেনে নেব যে সমানুপাত বলতে আমরা কি বুঝি?

যদি চারটি বাস্তব সংখ্যা এমন হয় যে, প্রথম দুটি সংখ্যার অনুপাত ও শেষ দুটি সংখ্যার অনুপাত পরস্পর সমান হয়, তাহলে ঐ সংখ্যা চারটিকে সমানুপাতী বলে অথবা সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে বলা হয়।

চারটি বাস্তব সংখ্যা $a,b,c,d$ ( $b\neq0,d\neq0$ ) সমানুপাতে থাকলে তাদের $a:b::c:d$ এই ভাবে লেখা হয়।
$a$ ও $d$ কে প্রান্তীয় পদ এবং $b$ ও $c$ কে মধ্যপদ বলে। $'d'$ কে চতুর্থ পদ বা চতুর্থ সমানুপাতী বলে।

চারটি সংখ্যা $a,b,c,d$ সমানুপাতে থাকলে, তাদের মধ্যে সম্পর্ক

ধরি, $a,b,c,d$ সমানুপাতে আছে,

$\therefore$ $a:b::c:d$ $\therefore$ $a:b = c:d$ $\therefore$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\therefore$ $ad = bc$

অর্থাৎ, সমানুপাতী চারটি সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রান্তীয় পদ দুটির গুনফল সর্বদা মধ্যপদ দুটির গুনফলের সমান হবে।

চারটি সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে গঠিত বিভিন্ন সমানুপাত

ধরি, $a,b,c,d$ চারটি সমানুপাতী সংখ্যা ।
$\therefore$ $a:b::c:d$ $\therefore$ $a:b = c:d$ $\therefore$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
(i) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ বা, $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ $\therefore$ $a:c::b:d$

(ii) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ বা, $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ $\therefore$ $b:a::d:c$

(iii) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ বা, $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$ $\therefore$ $c:a::d:b$

অর্থাৎ, $a,b,c,d$ সমানুপাতী হলে,

(i) $a,c,b,d$ সমানুপাতী,

(ii) $b,a,d,c$ সমানুপাতী,

(iii) $c,a,d,b$ সমানুপাতী

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

ক্রমিক সমানুপাতী

সমজাতীয় তিনটি রাশির মধ্যে প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত, দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের অনুপাতের সমান হলে, ঐ সমজাতীয় তিনটি রাশিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।
যেমন, 9,15,25 এই তিনটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, 9:15 = 3:5 ও 15:25 = 3:5
.`. 9, 15, 25 সংখ্যা তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ।

তিনটি বাস্তব সংখ্যা $a,b,c$ ( $b\neq 0 , c\neq0$ ) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, তাদের মধ্যে সম্পর্ক

$a,b,c$ ক্রমিক সমানুপাতী, $\therefore$ $a:b=b:c$ $\therefore$ $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ $\therefore$ $b^{2} = ac$ $\therefore$ $b =\pm \sqrt{ac}$

অর্থাৎ, $a,b,c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $b^{2} = ac$ বা, $b = \pm \sqrt{ac}$

$a$ ও $c$ উভয়েই ধনাত্মক চিহ্ন যুক্ত হলে, $b$ ধনাত্মক চিহ্ন যুক্ত হবে।
$a$ ও $c$ উভয়েই ঋণাত্মক চিহ্ন যুক্ত হলে, $b$ ধনাত্মক চিহ্ন যুক্ত হবে।
$a$ ও $c$ বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হলে $b$ অসংঙ্গাত হয়।
$a,b,c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $b$ কে $a$ ও $c$ এর মধ্যসমানুপাতী ও $c$ কে $a$ ও $b$ এর তৃতীয় সমানুপাতী বলে।
এইভাবে $a,b,c,d,e,...$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{e}$ = ….. হবে।

সমানুপাতের কয়েকটি প্রয়োজনীয় ধর্ম

একান্তর প্রক্রিয়া[Alternendo]

যে কোনো সমানুপাতের দ্বিতীয় ও তৃতীয়পদ পরস্পর স্থান বিনিময় করলেও পদ চারটি সমানুপাতী থাকে।
অর্থাৎ, $a,b,c,d$ সমানুপাতী হলে $a,c,b,d$ সমানুপাতী হবে।
প্রমাণ:
$a,b,c,d$ সমানুপাতী, $\therefore$ $a:b::c:d$ বা, $a:b=c:d$ $\therefore$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

উভয়পক্ষকে $\frac{b}{c}$ দিয়ে গুন করে পাই,

$\frac{a}{b} \times\frac{b}{c} = \frac{c}{d} \times \frac{b}{c}$

বা, $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ $\therefore$ $a:c = b:d$

$\therefore$ $a:b::c:d$ হলে, $a:c::b:d$ হবে।

যেমন, $4:3::8:6$ হলে $4:8::3:6$ হবে।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

বিপরীত বা ব্যস্ত প্রক্রিয়া [Invertendo]

যে কোনো দুটি অনুপাত সমান হলে তাদের বিপরীত বা ব্যস্ত অনুপাত দুটিও সমান হবে।
অর্থাৎ, $a:b::c:d$ হলে $b:a::d:c$ হবে।

প্রমাণ:
$a:b::c:d$ বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\therefore$ $ad = bc$

উভয়পক্ষকে $ac$ দিয়ে ভাগ করেপাই,

$ad\div ac = bc\div ac$

বা, $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ বা, $\frac{b}{a}$ = $\frac{d}{c}$

$\therefore$ $b:a = d:c$

$\therefore$ $a:b::c:d$ হলে, $b:a::d:c$ হবে।

যেমন, 4:3::8:6 হলে 3:4::6:8 হবে।

যোগ প্রক্রিয়া [Componendo]

$a,b,c,d$ চারটি সংখ্যার ক্ষেত্রে $a:b::c:d$ হলে , $(a+b):b::(c+d):d$ হবে।

প্রমাণ:
$a:b::c:d$ বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

উভয়পক্ষে 1 যোগ করে পাই,

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} +1$

বা, $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ $\therefore$ $(a+b):b = (c+d):d$

$\therefore$ $a:b::c:d$ হলে, $(a+b):b::(c+d):d$ হবে।

যেমন, $4:3::8:6$ হলে, $(4+3):3::(8+6):6$ হবে।

ভাগ প্রক্রিয়া [Dividendo]

$a,b,c,d$ চারটি সংখ্যার ক্ষেত্রে $a:b::c:d$ হলে , $(a-b):b::(c-d):d$ হবে।
প্রমাণ:
$a:b::c:d$

বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

উভয় পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে পাই,

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} -1$

বা, $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

$\therefore$ $(a-b):b = (c-d):d$

$\therefore$ $a:b::c:d$ হলে, $(a-b):b::(c-d):d$ হবে।

যেমন, $4:3::8:6$ হলে, $(4-3):3::(8-6):6$ হবে।

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া [Componendo and Dividendo]

$a,b,c,d$ চারটি সংখ্যার ক্ষেত্রে $a:b::c:d$ হলে , $(a+b):(a-b)::(c+d):(c-d)$ হবে।

প্রমাণ:
$a:b::c:d$

অর্থাৎ, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ বা, $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ [যোগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]

আবার, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

বা, $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ [ভাগ প্রক্রিয়া থেকে পাই]

সুতরাং , $\frac{a+b}{b}\div \frac{a-b}{b} = \frac{c+d}{d}\div\frac{c-d}{d}$

বা, $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

$\therefore$ $(a+b):(a-b)::(c+d):(c-d)$

$\therefore$ $a:b::c:d$ হলে, $(a+b):(a-b)::(c+d):(c-d)$

যেমন, $4:3::8:6$ হলে, $(4+3):(4-3)::(8+6):(8-6)$ হবে।

সংযোজন প্রক্রিয়া [Addendo]

$a:b=c:d=e:f$ হলে, প্রতিটি অনুপাত $(a+c+e):(b+d+f)$ এর সমান হবে।
সাধারনভাবে, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = ..... = \frac{a+c+e+....}{b+d+f+....}$

প্রমাণ:
$a:b=c:d=e:f$

ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ (যেখানে, $k\neq0$ )

$\therefore$ $a = bk , c = dk , e = fk$

$\therefore$ $\frac{(a+c+e)}{(b+d+f)} = \frac{(bk+dk+fk)}{(b+d+f)} = k \frac{(b+d+f)}{(b+d+f)} = k$

$\therefore$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{(a+c+e)}{(b+d+f)}$

অর্থাৎ, $a:b=c:d=e:f = (a+c+e):(b+d+f)$

এইভাবে, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = ..... = \frac{(a+c+e+....)}{(b+d+f+....)}$

.`. সাধারণ ভাবে আমরা লিখতে পারি, $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac {a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} =\cdots = \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})}{(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})}$

যেমন, $\frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{(2+6+8)}{(3+9+12)} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

দ্বিতীয় পর্ব সমাপ্ত। পরবর্তী পর্ব – অনুপাত ও সমানুপাত সংক্রান্ত কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের গণিত বিভাগের প্রাক্তন ছাত্রী অয়ন্তিকা পাল। গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধানের পাশাপাশি গল্পের বই পড়তেও সমান উৎসাহী অয়ন্তিকা ।

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

Join JUMP Magazine Telegram

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

ফলো করো – WhatsApp চ্যানেল
সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
লাইক করো – facebook পেজ
সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা

X_M_5b