সদৃশতা | উপপাদ্য 48

গণিত – দশম শ্রেণি – সদৃশতা

আমরা আজকের পর্বে সদৃশতার ধারণা ও ঐ অধ্যায়ের উপপাদ্যে সম্পর্কে আলোচনা করে নেব।

সদৃশতা কাকে বলে?

এটা বুঝে নেবার জন্য, প্রথমে আমরা দুটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকব, যাদের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 cm ও 8 cm.

∠A = ∠P =60˚, ∠B =∠Q =60˚, ∠C =∠R = 60˚ ও $\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}=\frac{BC}{QR}=\frac{5}{8}$ অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

▪ দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে,
(i) তাদের অনুরুপ বাহুগুলি সমানুপাতী হবে ও
(ii) ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী হবে।

এই বিষয়ে গ্রিক গণিতজ্ঞ থ্যালেস বলেছিলেন যে, ‘সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলি সমানুপাতী’।

এটি Basic proportionality উপপাদ্য নামে পরিচিত।

তোমরা প্রমাণ করার চেষ্টা করলে দেখতে পাবে যে, থ্যালেসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যও সম্ভব।

উপপাদ্য: 48

যে কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে, ঐ লম্বের উভয় পার্শ্বস্থিত ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ ও ঐ ত্রিভুজগুলি প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ।

প্রদত্ত → ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব।
∴ AD ⊥ BC
প্রমাণ করতে হবে যে → (i) ΔABD, ΔABC পরস্পর সদৃশ, (ii) ΔADC, ΔABC পরস্পর সদৃশ, (iii) ΔABD, ΔADC পরস্পর সদৃশ,
প্রমাণ → ΔABD ও ΔABC এর
∠ BDA = ∠ BAC = 90˚ ও ∠ ABD = ∠ABC
∴ অবশিষ্ট ∠ BAD = ∠ ACB
∴ ΔABD ও ΔABC সদৃশকোণী।

∴ ΔABD ও ΔABC পরস্পর সদৃশ। [(i) প্রমাণিত]
আবার, ΔADC ও ΔABC এর
∠ADC = ∠BAC = 90^o, ∠ACD =∠ACB
∴ অবশিষ্ট ∠CAD = ∠ABC
∴ ΔADC ও ΔABC সদৃশকোণী।
∴ ΔADC ও ΔABC পরস্পর সদৃশ। [(ii) প্রমাণিত]
∴ ΔABD ও ΔABC পরস্পর সদৃশ ও ΔADC ও ΔABC পরস্পর সদৃশ।
∴ ΔABD ও ΔADC পরস্পর সদৃশ। [(iii) প্রমাণিত]