ঘনফল সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ঘনফল নির্ণয় (দ্বিতীয় পর্ব)

গত পর্বে তোমরা ঘনক সম্পর্কেই জেনেছিলে। এই পর্বে আমরা ঘনফল সংক্রান্ত কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান শিখে নেবো।

প্রথম উদাহরণ

$(11)^3$ এর মান নির্ণয় করো।
$(11)^3 = (10 + 1)^3$
$(10)^3 + 3 \times (10)^2 \times 1 + 3 \times (10) \times (1)^2 + (1)^3$ [(I) নং অভেদ থেকে পাই]
$1000 + 300 + 30 + 1$
$= 1331$ (উত্তর)

দ্বিতীয় উদাহরণ

$(99)^3$ এর মান নির্ণয় করো।
$(99)^3 = (100 - 1)^3$
$= (100)^3 - 3 \times (100)^2 \times 1 + 3 \times (100) \times (1)^2 - (1)^3$ [(II) নং অভেদ থেকে পাই]
$= 1000000 - 30000 + 300 - 1$
$= 970299$ (উত্তর)

তৃতীয় উদাহরণ

$(x^2 + 2)^3$ এর মান নির্ণয় করো।
$(x^2 + 2)^3$
$= (x^2)^3 + 3 \times (x^2)^2 \times 2 + 3 \times x^2 \times (2)^2 + (2)^3$
$= x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8$ (উত্তর)

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

চতুর্থ উদাহরণ

$x - y = 2$ হলে, $x^3 - y^3 - 6xy$ এর মান কত?
$x - y = 2$
উভয়পক্ষে, ঘন করে পাই
$(x - y)^3 = (2)^3$
বা, $(x)^3 - 3 \times (x)^2 \times y + 3 \times x \times (y)^2 - (y)^3 = 8$
বা, $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 8$
বা, $x^3 - y^3 - 3xy(x - y) = 8$
বা, $x^3 - y^3 - 3xy \times 2 = 8$
বা, $x^3 - y^3 - 6xy = 8$ (উত্তর)

পঞ্চম উদাহরণ

$x +\frac{1}{x} = 5$ হলে, $x^3 +\frac{1}{x^3}$ এর মান কত?
$x + \frac{1}{x} = 5$
উভয়পক্ষে, ঘন করে পাই
$(x +\frac{1}{x})^3 = (5)^3$
বা, $x^3 + 3 \times (x)^2 \times \frac{1}{x} + 3 \times x \times (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3 = 125$
বা, $x^3 + 3x^2 \times \frac{1}{x} + 3x \times \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = 125$
বা, $x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 125$
বা, $x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \times 5 = 125$
বা, $x^3 +\frac{1}{x^3} = 125 - 15 = 110$ (উত্তর)

ষষ্ঠ উদাহরণ

$xy (x + y) = m$ হলে, প্রমাণ করো $x^3 + y^3 + 3m = \frac{m^2}{x^2y^2}$

$xy (x + y) = m$ —(i)
উভয়পক্ষে, ঘন করে পাই
$x^3y^3 (x + y)^3 = m^3$
বা, $x^3y^3 [x^3 + y^3 + 3xy (x + y)] = m^3$ [(I) নং অভেদ থেকে পাই]
বা, $x^3y^3 [x^3 + y^3 + 3m] = m^3$ [(i) থেকে পাই]
বা, $(x^3 + y^3 + 3m) = \frac{m^3}{x^3y^3}$ (প্রমাণিত)

সপ্তম উদাহরণ

যদি $m + n = 5$ এবং $mn = 6$ হয়, তবে $(m^2 + n^2) (m^3 + n^3)$ এর মান কত হবে?
$m + n = 5$
বা, $(m + n)^3 = (5)^3$
বা, $m^3 + n^3 + 3mn (m + n) = 125$ [(I) নং অভেদ থেকে পাই]
বা, $m^3 + n^3 + 3 \times 6 \times 5 = 125$
বা, $m^3 + n^3 = 125 - 90 = 35$
আবার, $m + n = 5$
বা, $(m + n)^3 = (5)^3$
বা, $m^2 + 2mn + n^2 = 25$
বা, $m^2 + n^2 = 25 - 2 \times 6 = 13$
∴ $(m^2 + n^2) \times (m^3 + n^3) = 13 \times 35 = 455$ (উত্তর)

অষ্টম উদাহরণ

সরল করো – (সূত্রের সাহায্যে)

a) $(x + 1) (x^2 - x + 1) + (2x - 1) (4x^2 + 2x + 1) - (x - 1) (x^2 + x + 1)$
$[(x + 1) {(x)^2 - x \times 1 + (1)^2}] + [(2x - 1) {(2x)^2 + 2x \times 1 + (1)^2}] - [(x - 1) {(x)^2 + x \times 1 + (1)^2}]$
$[(x)^3 + (1)^3] + [(2x)^3 - (1)^3] - [(x)^3 - (1)^3]$ [(III), (IV) নং অভেদ থেকে পাই]
$= x^3 + 1 + 8x^3 - 1 - x^3 + 1$
$= (8x^3 + 1)$ (উত্তর)

b) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$ হলে, $(a^3 + b^3)$ এর মান কত?
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
বা, $\frac{a^2+b^2}{ab} = 1$
বা, $a^2 + b^2 = ab$
বা, $(a^2 - ab + b^2) = 0$ —(i)
আমরা জানি,
$a^3 + b^3= (a + b) (a^2 - ab + b^2)$ [(i) নং থেকে পাই]
$= (a + b) \times 0 = 0$

c) $1 + 9x + 27x^2 + 28x^3$ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
$= 1 + 9x + 27x^2 + 27x^3 + x^3$
$= (1)^3 + 3 \times (1)^2 \times 3x + 3 \times 1 \times (3x)^2 + (3x)^3 + x^3$
$= (1 + 3x)^3 + (x)^3$
$= (1 + 3x + x) [(1 + 3x)^2 - (1 + 3x) \times x + (x)^2]$ [(III) নং অভেদ থেকে পাই]
$= (1 + 4x) (1 + 6x + 9x^2 - x - 3x^2 + x^2)$
$= (1 + 4x) (1 + 5x + 7x^2)$

d) $(x^6 - y^6)$ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
$(x^6 - y^6)$
$= (x^2)^3 - (y^2)^3$
$= (x^2 - y^2) [(x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2]$ [(IV) নং অভেদ থেকে পাই]
$= (x^2 - y^2) [x^4 + x^2y^2 + y^4]$
$= (x + y) (x - y) (x^4 + x^2y^2 + y^4)$