সময় ও কার্য

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: সময় ও কার্য

আগের পর্বে আমরা ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্কের যাচাই সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা সময় ও কার্য সম্পর্কে আলোচনা করবো।

সময় কার্যের গাণিতিক সমস্যাগুলি প্রধানত ধারণাভিত্তিক। অর্থাৎ গাণিতিক উদাহরণটি পড়ে আমাদের ধারণা তৈরি করে নিতে হবে সমস্যাটি সমাধানের জন্য।
একটি ছোট উদাহরণ দিলে ব্যাপারটি আরও পরিষ্কার হবে।

পাড়ায় একটি নতুন বাড়ি তৈরি হবে বলে 500 টি ইট রাখা আছে। 2 জন মিস্ত্রি সেই 500 টি ইট বইতে 4 ঘণ্টা সময় নেয়। যদি আরও 2 জন নতুন মিস্ত্রিকে নিয়ে আসা হয় তাহলে 500 টি ইট 4 জন মিস্ত্রি বইতে কত সময় নেবে?

সমাধান- এই ক্ষেত্রে, মোট ইট 500 টি।
যখন মিস্ত্রি 2 জন সময় লাগে 4 ঘণ্টা
যখন মিস্ত্রি 1 জন তখন সময় অবশ্যই বেশি লাগবে; অর্থাৎ 2 × 4 = 8 ঘণ্টা
যখন মিস্ত্রি 4 জন তখন সময় আগের থেকে কম লাগবে, অর্থাৎ 8 ÷ 4 = 2 ঘণ্টা
অর্থাৎ, সমস্যাটি পড়ে আমাদের যদি ধারণা তৈরি হয় যে লোকসংখ্যা বেড়ে গেলে তারা তাড়াতাড়ি কাজ করবে এবং সময় অবশ্যই কমে যাবে অর্থাৎ ব্যস্ত সম্পর্ক হবে, তবে সমস্যার সমাধান সহজেই করা যাবে।

সময় ও কার্য সম্পর্কিত কিছু গাণিতিক উদাহরণ

1) 1200 মিটার লম্বা একটি সেচের খালকাটা শুরু হওয়ায় 15 দিন পর দেখা গেল খালটির $\frac{3}{4}$ অংশ কাটা হয়েছে। বাকি অংশ কাটতে আর কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান- সেচের দৈর্ঘ্য = 1200 মিটার
15 দিনে খালটির $\frac{3}{4}$ অংশ কাটা হয়েছে।
∴ কাটা হয়েছে $= 1200\times \frac{3}{4} = 900$ মিটার
খাল এখনো কাটা বাকি আছে = (1200 – 900) = 300 মিটার
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল—

সেচ খালের পরিমাণ কমে গেলে কম দিনেই তা কাটা হয়ে যাবে অর্থাৎ খালের পরিমাণের সাথে দিনসংখ্যার সরল সম্পর্ক।

∴ 900 : 300 :: 15 : ?
বা, $\frac{900}{300} =\frac{15}{x}$
বা, $x =\frac{300\times 15}{900}$
বা, $x = 5$
বাকি অংশ খাল কাটতে 5 দিন সময় লাগবে। (উত্তর)

2) বালব তৈরির একটি সমবায় কারখানায় 45 জন সদস্য 12 দিনে 10000 টি বালব তৈরি করতে পারেন। হঠাৎ একটি জরুরী বরাত পাওয়ায় 9 দিনে 10000 টি বালব তৈরি করতে হবে। চুক্তি মত বালব যোগান দিতে কতজন বাড়তি সদস্য নিয়োগ করতে হবে?

সমাধান- বালবের সংখ্যা নির্দিষ্ট = 10000 টি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল—

কম দিনে 10000 টি বালব তৈরি করতে হয় তবে লোকসংখ্যা বাড়াতে হবে অর্থাৎ দিনসংখ্যা ও লোকসংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক।

∴ 12 : 9 :: ? : 45
বা, $\frac{12}{9} =\frac{x}{45}$
বা, $x =\frac{12\times45}{9}$
বা, $x = 60$
চুক্তি মত বালব যোগান দিতে (60 – 45) = 15 জন বাড়তি সদস্য নিয়োগ করতে হবে। (উত্তর)

3) অরুণ একটি গল্পের বই পড়তে সময় নেয় 3 দিন এবং বরুণ সেই গল্পের বইটি পড়ে 6 দিনে। দুজনে একসাথে যদি পড়ে তবে কতদিনে পড়া শেষ করবে?

সমাধান- অরুণ একদিনে পড়ে বইটির $\frac{1}{3}$ অংশ
বরুণ একদিনে পড়ে বইটির $\frac{1}{6}$ অংশ
তবে তারা যথাক্রমে 3 দিনে ও 6 দিনে বইটির সম্পূর্ণ অংশ বা 1 অংশ শেষ করবে।
∴ 1 দিনে দুজনে পড়ে $= (\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$ অংশ
$=(\frac{2+1}{6})$ অংশ
$=\frac{1}{2}$ অংশ
∴ $\frac{1}{2}$ অংশ বই পড়ে 1 দিনে
∴ 1 অংশ বই পড়বে $1 \times \frac{2}{1} = 2$ দিনে (উত্তর)

4) কোন একটি কাজ অবনী ও আনোয়ার আলাদা ভাবে যথাক্রমে 20 ও 25 দিনে করতে পারে। তারা একসঙ্গে কাজ শুরু করার 10 দিন পর দুজনেই চলে গেল। সুখেন এসে বাকি কাজটি 3 দিনে শেষ করল। যদি সুখেন পুরো কাজটি একা করত তবে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারত?

সমাধান-
অবনী 1 অংশ কাজ করে 20 দিনে
অর্থাৎ 20 দিনে করে কাজটির 1 অংশ
∴ 1 দিনে করে $\frac{1}{20}$ অংশ
আনোয়ার 1 অংশ কাজ করে 25 দিনে
অর্থাৎ 25 দিনে করে কাজটির 1 অংশ
∴ 1 দিনে করে $\frac{1}{25}$ অংশ
∴ অবনী ও আনোয়ার 1 দিনে করে মোট $=(\frac{1}{20}+\frac{1}{25})$ অংশ
$= (\frac{5+4}{100})$ অংশ $=\frac{9}{100}$ অংশ
∴ তারা একসঙ্গে 10 দিনে করে $=(\frac{9}{100}\times 10) =\frac{9}{10}$ অংশ
বাকি কাজ $= (1 -\frac{9}{100})$ অংশ $=(\frac{10-9}{10})$ অংশ $=\frac{1}{10}$ অংশ
$\frac{1}{10}$ অংশ কাজ সুখেন শেষ করে 3 দিনে
∴ 1 অংশ কাজ সুখেন করে $(3 \times 10) = 30$ দিনে (উত্তর)

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান | ভূগোল

4) আমাদের চৌবাচ্চায় 3 টি নল আছে। ওই তিনটি নল দিয়ে আলাদা আলাদা ভাবে 18, 21, 24 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ করা যায়।
a) একসাথে 3 টি নল খোলা থাকলে কতক্ষণে চৌবাচ্চাটি জলপূর্ণ হবে সমানুপাত তৈরি কর ও হিসাব কর।
b) যদি প্রথম দুটি খোলা থাকত তবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত?
c) যদি শেষের দুটি খোলা থাকত তবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত?

সমাধান-
প্রথম নল দিয়ে 18 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
∴ 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $=\frac{1}{18}$ অংশ
দ্বিতীয় নল দিয়ে 21 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
∴ 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $=\frac{1}{21}$ অংশ
তৃতীয় নল দিয়ে 24 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
∴ 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $=\frac{1}{24}$ অংশ
তিনটি নল একত্রে 1 ঘণ্টায় ভর্তি করে $(\frac{1}{18}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24})$ অংশ
$= (\frac{28+24+21}{504})$ অংশ $=\frac{73}{504}$ অংশ

a) জল ভর্তি অংশ এবং সময় সরল অনুপাতে আছে।
∴ $\frac{73}{504}$ : 1 :: 1 : ?
বা, $\frac{\frac{73}{504}}{1} =\frac{1}{x}$
বা, $x =\frac{1}{\frac{73}{504}} =\frac{504}{73}$ ঘণ্টা $= 6\frac{66}{73}$ ঘণ্টা (উত্তর)

b) প্রথম দুটি নল একত্রে 1 ঘণ্টায় জলপূর্ণ করে $=(\frac{1}{18}+\frac{1}{21})$ অংশ
$=(\frac{7+6}{126})$ অংশ $=\frac{13}{126}$ অংশ
∴ $\frac{13}{126}$ অংশ জলপূর্ণ হয় 1 ঘণ্টায়
∴ 1 অংশ জলপূর্ণ হয় $\frac{1}{\frac{13}{126}}$ ঘণ্টায় $=\frac{126}{13}$ ঘণ্টা $=9\frac{9}{13}$ ঘণ্টা (উত্তর)

c) শেষের দুটি নল একত্রে 1 ঘণ্টায় জলপূর্ণ করে $= (\frac{1}{21}+\frac{1}{24})$ অংশ
$=(\frac{8+7}{168})$ অংশ $=\frac{5}{56}$ অংশ
∴ দ্বিতীয় ও তৃতীয় নল
∴ $\frac{5}{56}$ অংশ জলপূর্ণ হয় 1 ঘণ্টায়
∴ 1 অংশ জলপূর্ণ হয় $\frac{1}{\frac{5}{56}}$ ঘণ্টায় $=\frac{56}{5}$ ঘণ্টা $=11\frac{1}{5}$ ঘণ্টা (উত্তর)