আয়তঘন (Cuboid)

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: আয়তঘন (প্রথম পর্ব)

আয়তঘনকে ইংরাজিতে বলা হয় Rectangular parallelepiped বা cuboid।

আমরা আমাদের চারপাশে নানান আকৃতির ঘনবস্তু দেখতে পাই সেগুলি কখনো গোল, কখনো বা চৌক বা অন্য কোন আকৃতির।

আয়তঘতন হল সেই ঘনবস্তু যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে এবং যার প্রতিটি তল একটি করে আয়তক্ষেত্র অর্থাৎ যেকোন তল-ই যদি দেখা যায় তবে একটি আয়তক্ষেত্র পাওয়া যাবে। যেমন, দেশলাই বাক্স, পেনসিল বক্স ইত্যাদি।

তোমরাও চারপাশে এরূপ আকৃতির ঘনবস্তু পাও কিনা খুঁজে দেখ, আর নাম খুঁজে পেলে কমেন্টের মাধ্যমে আমাদের জানাও।

গণিতে এই সকল ঘনবস্তু সংক্রান্ত সমস্যা সমাধানের জন্যই এই অধ্যায়টি পড়ব আমরা।

বাস্তব সমস্যা বোঝার জন্য একটি উদাহরণ গণ্য করা যাক। ধরা যাক একটি চৌবাচ্চা আছে যার দৈর্ঘ্য  3 মিটার, প্রস্থ 2 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার। তাহলে চৌবাচ্চাটিতে জল ভরা হলে ঠিক কত লিটার জল ধরবে?

এই সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের আয়তঘন ব্যাপারটি ভালো করে বুঝে নিতে হবে। নিচের চিত্রটি ভালো করে দেখ।

এখানে একটি চৌবাচ্চার মত দেখতে একটা বড় বাক্স আঁকা হয়েছে, এই আয়তঘনের দৈর্ঘ্য (l), প্রস্থ (b) ও উচ্চতা (h) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে।

লক্ষ্যনীয় চিত্রে প্রতিটি তল আয়তক্ষেত্র না মনে হলেও, যদি বাক্সটির প্রতিটি তল খোলা যায় তবে এইরূপ একটি চিত্র পাওয়া যাবে।

এখন আয়তঘনের আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের ধারণা বোঝা যাক।

আয়তঘনের আয়তন

আয়তঘনের আয়তন বলতে বোঝায় আয়তঘনের মধ্যে ঠিক কতটা জায়গা আছে বা কোন নিরেট ঘনবস্তু হলে তা কতটা বস্তু দিয়ে তৈরি।

আমরা পূর্বেই দেখলাম কোন আয়তঘনের প্রতিটি তল আয়তাকার হয়।

ধরি, l দৈর্ঘ্যের ও b প্রস্থের কোন আয়তক্ষেত্র নেওয়া হল। এই তলতিকে আনুভূমিক ভাবে রাখা হল। (নিচের চিত্রটি দেখ)

আমরা জানি এই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে lb (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)। এই বার আমরা একই আকৃতির অনেকগুলি ক্ষেত্রফল একটার উপরে একটা রাখা হল। ধরি, এর উচ্চতা হল h।

সুতরাং, এক্ষেত্রে এই পুরো ব্যাপারটির ক্ষেত্রফল হল – l×b×h ঘনএকক

এটিই হল আয়তঘনটির ক্ষেত্রফল।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

এবার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ব্যাপারটি বুঝে নেওয়া যাক।

সমগ্রতল বলতে আমরা বুঝি যে ঘনবস্তুর যতগুলি তল আছে সবকটি তলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। তাহলে প্রথমে দেখে নেওয়া আয়তঘনের কটি তল বর্তমান।

আমরা দেখেছি মোট ছটি তল বর্তমান এবং আমরা জানি একটি তলের ক্ষেত্রফল হল দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।

আমরা ছবিতে স্পষ্টই বুঝতে পারছি যে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = তল (1) + তল (2) + তল (3) + তল (4) + তল (5) + তল (6)

= lh + lb + bh + lh + bh + lb

= 2 (lb + lh + bh) বর্গএকক

∴ আয়তঘনের সমগ্রতল = 2 (lb + lh + bh) বর্গএকক

আমরা এবার, প্রথমে দেওয়া চৌবাচ্চা সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যাটি কষে দেখার চেষ্টা করবো। আমরা আগেই দেখেছি আয়তঘনের আয়তন l×b×h।

সুতরাং, চৌবাচ্চার জলের পরিমাণ =  দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 8 × 2 × 4 = 64 m³

আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য

ব্যাপারটি বোঝার আগে নিচের চিত্রটি ভালো করে দেখে নেওয়া যায়।

উপরের চিত্রে আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য d (AB) দ্বারা দেখানো হল, AB হল ΔABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, এখন AC হল নিচের আয়তক্ষেত্র AECF এর কর্ণ।

সুতরাং, ΔABC থেকে পাই –

⇒

⇒ একক

⇒ একক

এটিই আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

ঘনক

আয়তঘনের একটি বিশেষ প্রকার হল ঘনক যেখানে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান। [নিচের চিত্রটি দেখ]

এই ঘনকের দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = S ধরি

∴ আয়তন = l × b × h

= S × S × S ঘনএকক

= S³  ঘনএকক

এটিই হল ঘনকের আয়তন।

এবার আমরা ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বুঝে নেব।

আমরা আগেই জেনেছি যে আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2 (lb + lh + bh)

যেহেতু ঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা তিনটিই সমান। তাই প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল হল S² ।

∴ ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 (S² + S² + S²)

= 2(3S²)

= 6 ×S² বর্গএকক

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য

একই রকমভাবে কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে

⇒ d =

= একক

আশা করি আয়তঘন সম্পর্কে ধারণা অনেকটাই পরিষ্কার হয়েছে। আগামী পর্বে আমরা কয়েকটি আয়তঘন সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যার সমাধান করবো।

পরবর্তী পর্ব → আয়তঘন সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যার সমাধান

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্য ভাবে কোন মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

• • ফলো করো – WhatsApp চ্যানেল
  • সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
  • লাইক করো – facebook পেজ
  • সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
  • Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা

X-Math-4a