শ্রেনি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:লম্ব বৃত্তাকার চোঙ
আমরা কী কখনও ভেবে দেখি যে গ্যাস-সিলিন্ডারের ভেতর কতটা জায়গা আছে?
বা কখনো ভাবি যে জলের পাইপটি এখন যতটা জল ছাড়ছে, পাইপটি আরো বেশি লম্বা হলে কতটা জল ছাড়ত?
সাধারণত এই সকল বস্তু চারদিকে দেখতে পাই বটে, কিন্তু তাদের নিয়ে চিন্তার অবকাশ থাকে না।
তাই তো? আচ্ছা বল দেখি, একটি ব্যাটারীর আয়তন কত? ব্যাটারীটিকে কোথাও রাখলে ঠিক কতটা জায়গা দখল করে রাখবে? এগুলি কিন্তু গাণিতিকভাবে কষে দেখা সম্ভব।
আচ্ছা, আগে যে সকল উদাহরণগুলি দেওয়া হল এই সকল আকারের মধ্যে কী কিছু মিল পাওয়া যাচ্ছে? এই আকারের নাম-ই হল চোঙ।
এই অধ্যায়ে আমরা পড়ব লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বিস্তারিত আলোচনা।
আচ্ছা চোঙ অবধিতো ঠিক ছিল, কিন্তু ‘লম্ব-বৃত্তাকার’ কথাটির অর্থ কী?
সেটি বুঝতে নিম্নের চিত্রগুলি লক্ষ্য কর।
(a) ও (b) উভয় – চিত্রই চোঙ বা Cylinder এর। কিন্তু (a) – চিত্রটি লম্ব-বৃত্তাকার কিন্তু (b) চিত্রটি নয়।
শুধুমাত্র (a) চিত্রে উচ্চতা বৃত্তাকার তলের ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব বা সমকোণ তৈরি করে। চোঙটির ওপর ও নীচের তল বৃত্তাকার হওয়াতে এটি লম্ব-বৃত্তাকার।
এই অধ্যায়ে আমরা মূলত তিনটি বিষয় পড়ব –
- লম্ব বৃত্তাকার চোঙের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল।
- লম্ব বৃত্তাকার চোঙের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল।
- লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন।
চোঙের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
চোঙের ক্ষেত্রফল নির্ণয় শেখার আগে, আমরা নীচের চিত্রটি ভালোভাবে লক্ষ্য করবো।
ধরি, ‘h’ হল চোঙের উচ্চতা ও বৃত্তাকার তলের ব্যাসার্ধ ‘r’।
লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির পার্শ্বতল ও সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের পূর্বে কটি তল বর্তমান তা আগে বুঝে নেব।
ওপর ও নীচের যে দুটি বৃত্তাকার তল বর্তমান তারা সমতল। মাঝের লম্বা shaded অঞ্চল বক্রতল। পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল বুঝতে আমরা এই বক্রতলেরই ক্ষেত্রফল বুঝব।
ধরে নিই যে একটি কাগজ দিয়ে এতক্ষণ ঐ লম্ব বৃত্তাকার চোঙটিকে মোড়ানো ছিল। সুতরাং কাগজের প্রস্থ হলো চোঙের উচ্চতা অর্থাৎ h এবং কাগজের দৈর্ঘ্য হবে বৃত্তাকার তলের পরিধি অর্থাৎ 2πr। এখন কাগজটির আকার আয়তকার এবং দৈর্ঘ্য 2πr ও প্রস্থ h।
∴চোঙের চারপাশের বা পার্শ্বতলের বা বক্রতলের ক্ষেত্রফল = কাগজের ক্ষেত্রফল
চোঙের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr × h
= 2πrh বর্গএকক
আবার, চোঙটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = চোঙের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের দুটি বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফল
চোঙের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh + দুটি বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh + 2 × πr2
= 2πrh (h + r) বর্গএকক
আয়তন নির্ণয়
চোঙের আয়তন নির্ণয়ের পূর্বে বুঝব আয়তন বলতে কী বোঝায়?
সহজ ভাষায় বললে, চোঙের ভেতরে ঠিক যে পরিমাণ জায়গা আছে সেটিই তার আয়তন।
লম্ব বৃত্তাকার চোঙটিকে সমানভাবে কাটা হলে, উপর থেকে নীচ অবধি πr2 ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট h খানা বৃত্তাকার তল পাওয়া যাবে।
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির আয়তন = বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফল × h
= πr2 × h ঘনএকক
= π × r × r × h ঘনএকক
চোঙের আয়তন মনে রাখার খুব সুন্দর একটি Process এবার আমরা শিখবো
আমরা সকলেই Pizza খেতে ভালোবাসি। Pizza শব্দটি ভাঙলে হয় , Pi | Z | Z | a
এখন Pi = π, Z = r, ও a = h মনে করা হলে, Pizza – π × r × r × h বা πr2h এর আকার নেয়।
এতো গেলো নিরেট চোঙের ধারণা। নিরেট চোঙ অর্থাৎ যে চোঙের মধ্যে কোনো ফাঁপা অঞ্চল নেই। কিন্তু চোঙের মধ্যেকার অংশ যদি ফাঁপা হয়? সেক্ষেত্রে কি হবে?
ফাঁপা চোঙের ধারণা
আমার এর উদাহরণ হিসাবে ফ্লাস্কের কথা কল্পনা করতে পারি।
এই ধরনের ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে একটি বাইরের চোঙের ভেতর একটি ক্ষুদ্র চোঙ ভরা থাকে। ধরি, বাইরের চোঙের ব্যাসার্ধ R ও ক্ষুদ্র চোঙের ব্যাসার্ধ r (R > r)
তাহলে ক্ষুদ্র ও বাইরের চোঙের ভেতরের স্থানের আয়তন কত হবে, হিসাব করে দেখি →
বাইরের চোঙের আয়তন – ক্ষুদ্র চোঙের আয়তন
= πR2h – πr2h (অবশ্যই উভয়ের উচ্চতা সমান অর্থাৎ h)
= π(R2 – r-2) h ঘনএকক
∴ ফাঁপা চোঙের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πRh + 2πrh
= 2π (R + r)h বর্গএকক
আর, ফাঁপা চোঙের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2π (R + r) h + 2π (R2 – r2) বর্গএকক
এই পর্বটি সমাপ্ত হল। পরবর্তী পর্ব → কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান
অন্যান্য বিভাগগুলি পড়ুন
এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।
এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –
- ফলো করো – WhatsApp চ্যানেল
- সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
- লাইক করো – facebook পেজ
- সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
- Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা
X_M_8a
