বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য সংক্রান্ত প্রয়োগ

গণিত – দশম শ্রেণি – বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

আমরা এর আগের পর্বে বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য আলোচনা করেছি। এই পর্বে অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান দেখে নেব।

1. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ কর যে, $PQ = \frac{1}{2}BC$

সমাধান-

প্রদত্ত- দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, $PQ = \frac{1}{2}BC$
অঙ্কন- P, O ; O, Q যুক্ত করা হল।
OP ⊥ AB [OP ব্যাসার্ধ, AB রেখাটি, P বিন্দুতে স্পর্শক]
OQ ⊥ AC [OQ ব্যাসার্ধ, AC রেখাটি Q বিন্দুতে স্পর্শক]
BP = AP এবং AQ = QC [যেহেতু কেন্দ্রগামী সরলরেখা কোনো জ্যা-এর উপর লম্ব হলে , ওই সরলরেখাটি জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
△ABC এর AB এর মধ্যবিন্দু P
আবার, AC এর মধ্যবিন্দু Q
সুতরাং, PQ হল AB ও AC এর মধ্যবিন্দুদের সংযোজক সরলরেখা।
যেহেতু ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর অর্ধেক হয়।
তাই $PQ=\frac{1}{2}BC$ [প্রমাণিত]

2. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করা হল যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধান-

প্রদত্ত- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, AB = OT এবং এরা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণ- OA ⊥ AT [ যেহেতু OA ব্যাসার্ধ, TA স্পর্শক ]
∠OAT = $90^{\circ}$
আবার, OB ⊥ TB [ OB ব্যাসার্ধ, TB স্পর্শক]
∠OBT = $90^{\circ}$
OATB চতুর্ভুজের ∠OAT = ∠OBT = $90^{\circ}$
∠ATB = $90^{\circ}$
সুতরাং, OATB একটি আয়তক্ষেত্র এবং OA = OB
সুতরাং, OATB একটি বর্গক্ষেত্র
তাহলে OATB বর্গক্ষেত্রের AB ও OT দুটি কর্ণ এবং কর্ণ দুটি সমান হয়, AB = OT এবং এরা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
[প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

3. প্রমাণ কর যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।
সমাধান-

প্রদত্ত- ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত একটি সামন্তরিক ABCD, যার চারটি বাহু যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
ABCD একটি সামান্তরিক অর্থাৎ AB = CD, AD = BC
প্রমাণ করতে হবে, ABCD একটি রম্বস অর্থাৎ AB = AD প্রমাণ করলেই ABCD রম্বস প্রমাণিত হবে।
প্রমাণ- যেহেতু A বিন্দু থেকে AP ও AS দুটি স্পর্শক,
তাই AP = AS …..(i)
অনুরুপভাবে, BP = BQ ….(ii)
CR = CQ …….(iii)
DR = DS …..(iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv) করে পাই,
AP +BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
বা, AB + CD = AD + BC [AP + BP = AB, CR + DR = CD, AS + DS = AD, BQ + CQ = BC]
বা, AB + AB = AD + AD [AB = CD, AD = BC]
বা, 2AB = 2AD
বা, AB = AD
অর্থাৎ ABCD একটি রম্বস। [প্রমাণিত]

4. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করতে হবে যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।
সমাধান-

প্রদত্ত- A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত C বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে। O কেন্দ্রিয় একটি বৃত্ত A কেন্দ্রীয় বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে এবং B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, AO + BO = ধ্রুবক
প্রমান- যেহেতু A কেন্দ্রীয় ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি
পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
AO = AX – OX ……(i)
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্ত ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
BO = BY + OY ….(ii)
(i) + (ii) করে পাই,
AO + BO = AX – OX + BY +OY
বা, AO + BO = AX – OX + BY +OX [OY = OX একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
বা, AO + BO = AX + BY [ AX = A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ , BY = B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
বা, A এবং B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমষ্টি = ধ্রুবক [প্রমাণিত]