বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | গাণিতিক সমস্যার সমাধান

গণিত – দশম শ্রেণি – বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

1. প্রমাণ কর, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।

প্রদত্ত- ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন- A, C ও B, D বিন্দু যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- ABCD রম্বসের কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA =90°
∠AOB =90°
AB কে ব্যাস করে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হবে
সেটি O বিন্দুগামী হবে।
অনুরূপে, ∠BOC =90°,∠COD=90°
∠DOA=90°
BC, CD, DA কে ব্যাস করে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হবে তারাও O বিন্দুগামী হবে।
সুতরাং, রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। [প্রমাণিত]

2. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ কর যে, ∠AQC = ∠BQD

প্রদত্ত- X ও Y কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা X কেন্দ্রীয় বৃত্তকে A, B বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবং y কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, ∠AQC = ∠BQD
অঙ্কন- P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ- X কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ চাপের বৃত্তাংশস্থ ∠PAQ ও ∠PBQ
∠PAQ = ∠PBQ
বা, ∠CAQ = ∠DBQ ….(i)
Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ চাপের উপর বৃত্তাংশস্থ কোণ ∠PCQ ও ∠PDQ
∠PCQ = ∠PDQ
বা, ∠ACQ = ∠BDQ …..(ii)
∆AQC ও ∆BQD এর,
∠CAQ = ∠DBQ [(i) থেকে পাই]
∠ACQ = ∠BDQ [(ii) থেকে পাই]
সুতরাং, অবশিষ্ট কোণ ∠AQC = ∠BQD [ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে অবশিষ্ট কোণ ও সমান হবে] [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

3. AB ও CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ কর যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।

প্রদত্ত- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং CD দুটি ব্যাস। অর্থাৎ, AB = CD
প্রমাণ করতে হবে, ACBD একটি আয়তকার চিত্র
প্রমাণ- AB = CD
সুতরাং, AO = OB = CO = OD [ব্যাসার্ধ]
ACBD চতুর্ভুজের কর্ণ AB ও CD , যা পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
সুতরাং, ACBD একটি সামান্তরিক।
AB বৃত্তের ব্যাস, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠ADB=90°
আবার, CD বৃত্তের ব্যাস, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∠CAD =90°
সুতরাং, ACBD সামান্তরিক একটি আয়তাকার চিত্র। [প্রমাণিত]

4. ∆ABC এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, A, B D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

প্রদত্ত- ∆ABC ত্রিভুজের AD⊥BC এবং BE⊥AC
প্রমাণ করতে হবে, A, B , D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
প্রমাণ- AD⊥BC এবং BE⊥CD
∠ADB = ∠AEB = 90°
আমরা জানি, দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অপর দুটি বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে এই চারটি বিন্দু সমবৃত্তস্থ হবে।
AB রেখাংশের একই পাশে D ও E বিন্দুতে উৎপন্ন ∠ADB ও ∠AEB
∠ADB = ∠AEB
সুতরাং, A, B, D, E সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]