বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

গণিত – দশম শ্রেণি – বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য

আমরা এই অধ্যায়ের তিনটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য আজকের পর্বে আলোচনা করে নেবো।

উপপাদ্য 34

কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে কোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপ দিয়ে গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং একটি বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
প্রমাণ করতে হবে যে, একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ অর্থাৎ ∠AOB = 2 ∠ACB
অঙ্কনঃ C, O বিন্দু দুটি যুক্ত করা হল এবং সরলরেখাটিকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।

প্রমাণঃ △AOC এর OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
△AOC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার দুটি কোণ সমান
∠OCA = ∠OAC …….(i)
আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ = অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি
আবার, △AOC এর CO বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করায়
∠AOD = ∠OAC + ∠OCA
= ∠OCA + ∠OCA [(i) থেকে পাই]
= 2 ∠OCA ……..(ii)

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

আবার, △BOC এর, OB = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠OBC = ∠OCB ………(iii)
△BOC এর CO বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করায়
বহিঃস্থ ∠BOD = অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি ∠OCB + ∠OBC
= ∠OCB + ∠OCB [(iii) থেকে পাই ]
= 2 ∠OCB …….(iv)
(ii) ও (iv) থেকে পাই
∠AOD + ∠BOD = 2 ∠OCA + 2 ∠OCB
বা, ∠AOB = 2 (∠OCA + ∠OCB) [∠AOB = ∠AOD + ∠BOD]
বা, ∠AOB = 2 ∠ACB [প্রমাণিত]

উপপাদ্য 35:

একই বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান।

প্রদত্তঃ এখানে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABDC বৃত্তাংশে ∠ACB ও ∠ADB দুটি কোণ অবস্থিত।

প্রমাণ করতে হবে, ABDC বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান।
এখানে ∠ACB ও ∠ADB দুটি বৃত্তস্থ কোণ এবং তারা একই বৃত্তাংশ ABDC তে অবস্থিত সুতরাং, ∠ACB ও ∠ADB পরস্পর সমান প্রমাণ করলে উপপাদ্যটি প্রমাণিত হবে।
অর্থাৎ, আমাদের প্রমাণ করতে হবে ∠ACB = ∠ADB

অঙ্কনঃ O, A ও O, B বিন্দুগুলিকে দ্বারা যুক্ত করা হল।

প্রমাণঃ APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ কোণগুলি ∠ACB ও ∠ADB
আমরা জানি একই চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ ∠AOB = 2 ∠ACB এবং ∠AOB = 2 ∠ADB
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, 2 ∠ACB = 2 ∠ADB
বা, ∠ACB = ∠ADB
সুতরাং, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান।

উপপাদ্য 36

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ ।

প্রদত্তঃ এখানে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB হল যে কোণ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = 1 সমকোণ ( $90^{\circ}$ )

প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের উপর সম্মুখ
কেন্দ্রস্থ কোণটি হল ∠AOB এবং APB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত সম্মুখ বৃত্তস্থ কোণটি হল ∠ACB।
আমরা জানি, একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ ∠AOB = 2 ∠ACB……..(i)
এবার যেহেতু AB একটি সরলরেখাংশ সুতরাং ∠AOB একটি সরলকোণ
∠AOB = 2 সমকোণ ( $180^{\circ})$
(i) থেকে পাই

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

2 ∠ACB = 2 সমকোণ ( $180^{\circ}$ )
বা, ∠ACB = $\frac{2}{2}$ সমকোণ ( $\frac{180^{\circ}}{2}$ )
বা, ∠ACB = 1 সমকোণ ( $90^{\circ}$ )
সুতরাং, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। [প্রমাণিত]
সমাপ্ত।