দ্বিঘাত করণীর যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:দ্বিঘাত করণী (দ্বিতীয় পর্ব)

আগের পর্বে আমরা দ্বিঘাত করণীর ধারণা নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্বে আমরা আর একটি নতুন বিষয় নিয়ে আলোচনা করবো।

দুটি সংখ্যার মধ্যে আমরা যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করতে পারি, কিন্তু করণীতে কি করা যাবে?

আমরা দ্বিঘাত করণীর সংখ্যাগুলিকে নিয়ে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করতে পারি।

প্রথমে আমরা দেখব দুটি দ্বিঘাত করণীকে গুণ করলে গুণফল কি হবে।
ধরি, $\sqrt{x}$ ও $\sqrt{y}$ দুটি দ্বিঘাত করণী। [ $x,y$ অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা]
$\therefore$ সূচকের নিয়মে, $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}$
$\therefore$ $\sqrt{x}\times \sqrt{y}$ = $x^{\frac{1}{2}}$ . $y^{\frac{1}{2}}$ = $(xy)^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{xy}$
$\therefore$ $\sqrt{xy}$ = $\sqrt{x}\times\sqrt{y}$

তাহলে দুটি দ্বিঘাত করণীর ভাগফল কেমন হবে?

ধরি, $\sqrt{p}, \sqrt{q}$ দুটি দ্বিঘাত করণী

$\therefore$ সূচকের নিয়মানুসারে, $\sqrt{p}=p^{\frac{1}{2}}, \sqrt{q}=q^{\frac{1}{2}}$

$\therefore$ $\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}=\frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}}}=(\frac{p}{q})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{p}{q}}$ [ $p,q$ অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা]
$\therefore$ সূচকের নিয়মে, $\sqrt{\frac{p}{q}}=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}$
অর্থাৎ, $\sqrt{3}$ ও $\sqrt{5}$ এর গুনফল= $\sqrt{3}\times\sqrt{5}$ = $\sqrt{3\times5}=\sqrt{15}$
$\sqrt{3}$ ও $\sqrt{5}$ এর ভাগফল= $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$

এবার আমরা কয়েকটি সংখ্যাকে ভালোভাবে লক্ষ্য করবো।

$\sqrt{8}$ , $\sqrt{18}$ , $\sqrt{50}$

লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে, প্রত্যেকেই একই করণী $\sqrt{2}$ এর মূলদ গুণিতক।

একই ভাবে, $\sqrt{20}$ , $\sqrt{45}$ প্রত্যেকেই একই করণী $\sqrt{5}$ এর মূলদ গুণিতক।

এই রকম করণীগুলিকে আমরা সদৃশ করণী বলব।

সদৃশ করণী

দুটি শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীকে সদৃশ করণী বলে যখন উভয়ই একই করণীর মূলদ গুণিতক।

উদাহরনঃ

$2\sqrt{5}$ , $3\sqrt{5}$ এরা সদৃশ করণী।
$\sqrt{18}$ , $\sqrt{\frac{25}{2}}$ সদৃশ করণী [ $\sqrt{18}$ = $3\sqrt{2}$ , $\sqrt{\frac{25}{2}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

অসদৃশ করণী

যে সকল শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী সদৃশ করণী নয় তারা অসদৃশ করণী।

অর্থাৎ যদি $m$ ও $n$ দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা ( $m,n$ এর গ.সা.গু=1) হয় যারা পূর্ণবর্গ নয়, তাহলে, $\sqrt{m}$ , $\sqrt{n}$ অসদৃশ করণী হবে।
উদাহরনঃ

$\sqrt{5}$ , $\sqrt{8}$ অসদৃশ করণী।
$\sqrt{12}$ , $\sqrt{40}$ অসদৃশ করণী [ $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$ , $\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=2\sqrt{10}$ ]
$\sqrt{12}$ , $\sqrt{40}$

শুদ্ধ করণীগুলি একই করণীর মূলদ গুণিতক নয়।

করণীর যোগ বিয়োগ

আমরা জানি,
$10$ ও $5x$ এর যোগফল= $10+5x$
$a$ ও $b$ এর যোগফল= $a+b$
$x$ ও $3x$ এর যোগফল= $x+3x=4x$
$x$ থেকে $y$ এর বিয়োগফল = $x-y$
$3x$ থেকে $5x$ এর বিয়োগফল = $3x-5x=-2x$

এই রকম বীজগণিতের যোগ বিয়োগ আমরা আগেই শিখেছি।

এখন আমরা করণীর যোগফল বিয়োগফল শিখব। শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীগুলির যোগফল বা বিয়োগফল নির্ণয় করতে হলে, প্রথমেই করণীগুলিকে সরল আকারে প্রকাশ করতে হবে। তারপরে আমরা বীজগাণিতিক প্রক্রিয়ার সাহায্যে যোগফল বা বিয়োগফল নির্ণয় করব।

একাধিক দ্বিঘাত করণীর যোগফলে বা বিয়োগফলে উৎপন্ন সংখ্যাকে যৌগিক করণী বলে।

কয়েকটি উদাহরণ দেখে নেওয়া যাক।

প্রথম উদাহরণঃ $\sqrt{2}+\sqrt{8}$ এর যোগফল কত?
$\therefore$ $\sqrt{2}+\sqrt{8}$ = $\sqrt{2}+\sqrt{4\times2}= \sqrt{2}+2\sqrt{2}= 3\sqrt{2}$ [সদৃশ করণী $\because$ $\sqrt{2}$ এর মূলদ গুণিতক উভয়েই]

দ্বিতীয় উদাহরণঃ $\sqrt{5}+\sqrt{20}$ এর যোগফল কত?
$\therefore$ $\sqrt{5}+\sqrt{20}$ = $\sqrt{5}+\sqrt{4\times5}= \sqrt{5}+2\sqrt{5}= 3\sqrt{5}$

তৃতীয় উদাহরণঃ $2\sqrt{3}+\sqrt{18}$ এর যোগফল কত?
$2\sqrt{3}+\sqrt{18}$ = $2\sqrt{3}+\sqrt{9\times2}= 2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ [ $\because$ $2\sqrt{3},\sqrt{18}$ অসদৃশ করণী]

চতুর্থ উদাহরণঃ দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী $(2+\sqrt{2})$ ও $(5+\sqrt{2})$ এর যোগফল কত?
= $(2+\sqrt{2})$ + $(5+\sqrt{2})$
= $(2+5)+(\sqrt{2}+\sqrt{2})$
= $7+2\sqrt{2}$

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

মিশ্র দ্বিঘাত করণীর গুণ ভাগ শিখব।

ধরি, দুটি দ্বিঘাত করণী $2\sqrt{7}$ ও $8\sqrt{5}$ এর গুনফল আমরা নির্ণয় করব।
$\therefore$ $2\sqrt{7}\times8\sqrt{5}$ [আমরা দ্বিঘাত করণীর মূলদ গুণিতকগুলিকে একত্রে গুণ করব ও দ্বিঘাত করণী গুলিকে একত্রে গুণ করব]
$=2\times8\times\sqrt{7}\sqrt{5}$
$=16\times\sqrt{7\times5}$
$=16\sqrt{35}$

আমরা জানি, সূচকের সূত্রানুযায়ী, যদি $a$ ও $b$ দুটি যে কোনো সংখ্যা ( $a\neq0, b\neq0$ ) ও $m,n$ দুটি মূলদ সংখ্যা হয়, তাহলে,
$(i) a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$(ii)(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$(iii)(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$

আমরা শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীর গুণ সূচকের নিয়ম মেনেই করব।

প্রথম উদাহরণঃ $(2+\sqrt{7})$ , $(5+\sqrt{3})$ এর গুনফল নির্ণয় করো।
= $(2+\sqrt{7})\times(5+\sqrt{3})$
= $(2\times5)+(2\times\sqrt{3})+(5\times\sqrt{7})+(\sqrt{7}.\sqrt{3})$ [ $\because$ বীজগাণিতিক নিয়মে, $(x+y)(a+b)$ = $ax+by+bx+by$ ]
= $10+2\sqrt{3}+5\sqrt{7}+\sqrt{21}$

দ্বিতীয় উদাহরণঃ $(2+\sqrt{5})$ , $(5-\sqrt{5})$ এর গুণফল নির্ণয় কর।
= $(2+\sqrt{5})\times(5-\sqrt{5})$
= $(2\times5)-(2\times\sqrt{5})+(5\sqrt{5})-(\sqrt{5}.\sqrt{5})$
= $10-2\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5$
= $10-5+5\sqrt{5}-2\sqrt{5}$
= $5+3\sqrt{5}$

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

এখন আমরা দ্বিঘাত করণীর ভাগফল সম্পর্কে শিখব।

আমরা জানি, $\sqrt{17}$ ও $\sqrt{7}$ এর ভাগফল= $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{17}{7}}$

কিন্তু আমরা এই ভগ্নাংশের হরে কোনো করণী রাখবো না। তাহলে আমরা $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{7}}$ এর হরকে করণীমুক্ত করতে পারি।

আমরা জানি, $\sqrt{7}.\sqrt{7}=(\sqrt{7})^{2}=[(7)^{\frac{1}{2}}]^{2}=7$ হয়,
আমরা $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{7}}$ ভগ্নাংশটির লব ও হর উভয়কে $\sqrt{7}$ দিয়ে গুণ করে দেখি কি পাওয়া যায়,
$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{7}}$ = $\frac{\sqrt{17}\times\sqrt{17}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}$ = $\frac{\sqrt{17\times7}}{7}=\frac{\sqrt{119}}{7}$ পেলাম।
$\therefore$ $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{7}}$ কে করণীমুক্ত করে $\frac{\sqrt{119}}{7}$ পেলাম।

এই ভাবে কোনো ভগ্নাংশের হরকে করণী মুক্ত করাকে করণী নিরসন বলে।

অনুবন্ধী বা পূরক করণী

কোনো মিশ্র দ্বিঘাত করণীর করণী নিরসক উৎপাদকের সঙ্গে ঐ করণীর যোগফল ও গুণফল উভয়েই যদি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে তাকে ঐ মিশ্র দ্বিঘাত করণীর অনুবন্ধী বা পূরক করণী (conjugate surd) বলে।

উদাহরণ, $(3+\sqrt{5})$ এর অনুবন্ধী করণী $(3-\sqrt{5})$ , কিন্তু $(-3+\sqrt{5})$ অনুবন্ধী করণী নয়, যদিও উভয়েই $(3+\sqrt{5})$ করণীটির করণী নিরসক উৎপাদক।
কারণ, $(3+\sqrt{5})$ + $(3-\sqrt{5})$ = $3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6$ , [মূলদ সংখ্যা]
কিন্তু, $(3+\sqrt{5})$ + $(-3+\sqrt{5})$ = $3-3+\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ [অমূলদ সংখ্যা]
$\therefore$ $(a+\sqrt{b})$ এর অনুবন্ধী করণী= $(a-\sqrt{b})$

আমরা যখন দুটি মিশ্র করণীর ভাগফল নির্ণয় করব, প্রথমে করণী দুটিকে যথাক্রমে লব ও হর ধরে একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করে লিখব। তারপর সেই ভগ্নাংশের হরকে করণী নিরসন করে ভাগফল নির্ণয় করতে পারব।

উদাহরণঃ $(4+2\sqrt{3})$ ও $(2-\sqrt{3})$ এর ভাগফল নির্ণয় করো।
$(4+2\sqrt{3})\div(2-\sqrt{3})$
= $\frac{4+2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$
= $\frac{(4+2\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$ [ $\therefore$ $2-\sqrt{3}$ এর করণী নিরসক উৎপাদক $2+\sqrt{3}$ $\therefore$ $2+\sqrt{3}$ দিয়ে লব ও হরে গুণ করে পাই]
= $\frac{8+4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$
= $\frac{8+8\sqrt{3}+6}{4-3}$
= $\frac{14+8\sqrt{3}}{1}=14+8\sqrt{3}$