trikonmitik-proyog-class-10
Madhyamik

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ (উচ্চতা ও দূরত্ব)

বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ (উচ্চতা ও দূরত্ব)


ত্রিকোণমিতি হল ত্রিভুজের উচ্চতা ও দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক।

একটি ত্রিভুজ হল তিন বাহুবিশিষ্ট বদ্ধ আকার। কোনো বস্তুর উচ্চতা ও দূরত্বের (কোনো কিছু থেকে) সম্পর্ক বোঝা যায় ত্রিকোণমিতির দ্বারা।

উচ্চতা ও দূরত্ব

উচ্চতা হল কোনো বস্তুর উল্লম্বদিকের মান এবং কোনো নির্দিষ্ট স্থান থেকে বস্তুটির আনুভূমিক দূরত্ব হল তার দূরত্ব।

যদি আমরা এমন একটি সরল রেখার কথা চিন্তা করি, যা পর্যবেক্ষনের স্থান থেকে বস্তুর সর্বোচ্চ বিন্দুকে যোগ করে; তবে সরলরেখাটি, বস্তুর উচ্চতা এবং দূরত্ব ঐ পর্যবেক্ষনের স্থান থেকে, একটি ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

Trigonometry-4

উপরোক্ত ছবিটি লক্ষ্য করলে বোঝা যাচ্ছে, AB হল বস্তুর উচ্চতা, এই উচ্চ স্তম্ভকে C বিন্দু থেকে পর্যবেক্ষন করা হচ্ছে। সুতরাং BC হল দূরত্ব।

এখন ∠ACB হল উচ্চতা বা উন্নতি কোণ (α) এবং যদি A বিন্দু থেকে BC-এর সমান্তরালে সরলরেখা টানা হয় তাহলে তা AC এর সাথে যে কোণ উৎপন্ন করবে তা হল  কোণ; ধরি এক্ষেত্রে অবনতি কোণ হল β।

গাণিতিক সমস্যার ক্ষেত্রে উচ্চতা, দূরত্ব বা কোণ এর মধ্যে যেকোন দুটি দেওয়া থাকলে, আমরা তৃতীয়টি বের করতে পারব।

আবার লক্ষনীয়, α = β যেহেতু একান্তর কোণ।

এছাড়াও , আমরা জানি  Tan α = উচ্চতা / দূরত্ব


অন্যান্য বিভাগগুলি পড়ুন

দশম শ্রেণি – ভৌতবিজ্ঞান

দশম শ্রেণি – বাংলা

দশম শ্রেণি – গণিত

দশম শ্রেণি – জীবন বিজ্ঞান


উচ্চতা ও দূরত্বের গাণিতিক সমস্যাগুলো ভালো করে লক্ষ্য করলে আমরা দেখবো সবকটি সমস্যার ক্ষেত্রেই নিম্নলিখিত যেকোন দুটি তথ্য দেওয়া থাকবে →

  • বস্তু থেকে পর্যবেক্ষকের দূরত্ব
  • বস্তুর উচ্চতা
  • উন্নতি কোণ / অবনতি কোণ

এই তথ্যগুলির ওপর ভিত্তি করেই আমাদের অবশিষ্ট গণনা করতে হবে।

subscribe-jump-magazine-india

কয়েকটি উদাহরণ সহযোগে বোঝার চেষ্টা করা যাক।

প্রথম উদাহরণঃ একজন 1.5 ম উচ্চ ব্যাক্তি কোন টাওয়ার থেকে 28.5 m দূরে দাঁড়িয়ে আছে। উচ্চতা কোণ 45º হলে টাওয়ারটির উচ্চতা কত?

প্রথমে চিত্রটি এঁকে নেওয়া যাক, যাতে প্রশ্নটি ভালোভাবে বোঝা যায়।

এখন CD হল ব্যাক্তির উচ্চতা অর্থাৎ CD = 1.5m

আবার, AB হল টাওয়ারের উচ্চতা, সুতরাং D থেকে BC = 28.5 এর সমান্তরালে DE অঙ্কন করা হলো। DE = BC = 28.5 এবং ∠ADE = 45º নির্ণেয় উচ্চতা AB = H = (AE + 1.5)

এখন, tan \; 45^{\circ} = \frac{AE}{ED}

1 = \frac{AE}{28.5}

∴ AE = 28.5

∴ H = 28.5 +1.5

= 30 m (Ans)

এখন কয়েকটি উল্লেখযোগ্য points অবশ্যই মনে রাখা প্রয়োজন –

  • উচ্চতা কোণ ও অবনতি কোণ সর্বদাই সূক্ষ্ম কোণ এবং সমান হয়।
  • সর্বদাই অনুভুমিক রেখা থেকে কোণগুলি পরিমাপ করা হয়।

আশা করছি পুরো ব্যাপারটা বোঝা গেল। আবার একটি উদাহরণ কষে দেখা যাক।


JUMP ম্যাগাজিনের ফেসবুক পেজ লাইক করার আবেদন রইল!:)


দ্বিতীয় উদাহরণঃ একজন ব্যাক্তি নদীর তীরে দাঁড়িয়ে প্রত্যক্ষ করল, ওপর তীরে থাকা গাছটির উচ্চতা কোণ বা উন্নতি কোণ 60º । তিনি তীর থেকে 40 m দূরে গেলে উন্নতি কোণ হয় 30º। নদীটি কতটা চওড়া এবং গাছটির উচ্চতা কত?

প্রথমেই চিত্র এঁকে নেওয়া যাক।

ধরি, AB হল নদীর চওড়া অংশ। B বিন্দুতে দাঁড়িয়ে থাকা ব্যাক্তি AD গাছটির দিকে তাকালে, উন্নতি কোন হয় 30°।

∴ BC = 40 m

এখন, Δ ADB থেকে পাই –

\frac{AD}{AB}= tan \; 60^{\circ}

\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \sqrt{3} —– (a)


আরো পড়ুনঃ ত্রিকোণমিতির আদর্শ কোণগুলির মান মনে রাখার কৌশল

Δ ADC থেকে পাই –

\frac{AD}{AC} = tan\; 30^{\circ}

\Rightarrow \frac{AD}{AB + BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}

\Rightarrow \frac{AD}{AB + 40} = \frac{1}{\sqrt{3}} —– (b)

(a)  এবং (b) থেকে পাই –

\sqrt{3}\; AB = \frac{AB + 40}{\sqrt{3}}

\Rightarrow 3\; AB = AB + 40

\Rightarrow 2\; AB = 40

\Rightarrow AB = 20

আবার, (a) থেকে পাই –

\Rightarrow \frac{AD}{20} = \sqrt{3}    [ যেহেতু AB = 20]

\Rightarrow AD = 20\sqrt{3}

সুতরাং গাছটির উচ্চতা হল 20m এবং নদীটি 20\sqrt{3} m চওড়া। (Ans)

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

lekha-pora-shona-facebook-group

Aditi Sarkar
রাজাবাজার সায়েন্স কলেজের ফলিত গণিতের (MSc in Applied Mathematics) প্রাক্তন ছাত্রী অদিতি সরকারের গণিতের সাথে সম্পর্ক চিরকালীন। পড়াশোনার পাশাপাশি গান শুনতে ও ছবি আঁকতে ভালোবাসেন অদিতি।

Leave a Reply