Raikhik-vorbeger-songrokkhon-sutro
Class-11

রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র

পদার্থবিদ্যা একাদশ শ্রেণি – নিউটনের গতিসূত্র (Newton’s Laws of motion)


রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রের বিবৃতি:

কোনো বস্তু সমষ্টির উপর বাইরে থেকে কোনো বল প্রযুক্ত না হলে- বস্তুগুলির মধ্যে আন্তঃক্রিয়া ঘটলেও বস্তু সমষ্টির রৈখিক ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকে।

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র অনুযায়ী আমরা জানতে পারি যে, কোনো বস্তু বা বস্তুর সংস্থার ভরবেগ পরিবর্তনের হার বস্তু বা বস্তুর সংস্থার উপর ক্রিয়ারত প্রযুক্ত বলের সমান।

গাণিতিক ভাবে,
প্রযুক্ত বল \vec{F}= \frac {d\vec{p}}{dt} (ভরবেগ পরিবর্তনের হার)

বস্তুসংস্থার ওপর প্রযুক্ত বল শূন্য হলে বা বলা বাহুল্য বস্তুসংস্থাটি বিচ্ছিন্ন হলে (isolated) হলে \vec{F}= 0
অর্থাৎ \frac {d\vec{p}}{dt} = 0
অর্থাৎ ভরবেগ \vec {p} এর মান ধ্রুবক হয়।

এর থেকে আমরা সহজেই রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রটি পেতে পারি।
তবে বস্তুসমষ্টির নিজেদের মধ্যে যদি পারস্পারিক ক্রিয়া বা আন্তঃক্রিয়া (interaction) ঘটে থাকে, যেমন- বস্তুগুলির পরস্পরের মধ্যে সংঘর্ষ বা পরস্পরের উপর মহাকর্ষ বলের প্রভাবে— এগুলিকে বস্তুসমষ্টির অভ্যন্তরীণ বল হিসাবেই ধরে নেব, এগুলি কখনোই বাহ্যিক বল নয়।

যদি n সংখ্যক বস্তুকণাসমষ্টির উপর প্রযুক্ত মোট বল শূন্য হয়, তাহলে ঐ কণাসমূহের ভরবেগের ভেক্টর যোগফলের মান ধ্রুবক থাকে।

অর্থাৎ যদি \vec {(F_1)} + \vec {(F_2)} + \cdots + \vec {(F_n)} = 0 হয় তবে \vec {(P_1)} + \vec {(P_2)} + \cdots + \vec {(P_n)} = 0 ধ্রুবক।

এই একই ঘটনাকে আমরা বস্তুকণাসমষ্টির ভরকেন্দ্রের (Centre of mass) সাপেক্ষে লিখলে বলা হয়,

F_{COM} = 0; P_{COM} = ধ্রুবক
\vec{F}= \frac {d\vec{p}}{dt}

সূত্রটি সবসময় আমাদের বিজ্ঞানের সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে ব্যবহার করতে পারা যায় না সেই সময় রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রটি সমস্যা সমাধানে অনেক সাহায্য করে থাকে।

উদাহরণ 1

একমাত্রিক সংঘর্ষ: m_1m_2 ভরের দুটি বস্তু যথাক্রমে u_1u_2 বেগে চলতে চলতে পরস্পরের সাথে সংঘর্ষের পর যথাক্রমে v_1v_2 বেগে চলতে শুরু করে। এক্ষেত্রে কোনো বাহ্যিক বল প্রযুক্ত করা হয় না, তাই রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করা যায়।

সংঘর্ষের পূর্বে মোট ভরবেগ = m_1u_1 + m_2u_2
সংঘর্ষের পরে মোট ভরবেগ = m_1v_1 + m_2v_2
ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রানুসারে, m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2

উদাহরণ 2

তেজস্ক্রিয় মৌল থেকে $latexα$ কণা নিঃসরণ: m ভরের একটি তেজস্ক্রিয় মৌল স্থির অবস্থায় ছিল যা হঠাৎ করে $latexα$ কণা (m_1 ভরের) ও আর একটি $latexm_2$ ভরের কণাতে ভেঙে গেল। ধরলাম $latexα$ কণাটি v_1 বেগে x অক্ষ বরাবর যায়, আর m_2 ভরের কণাটি v_2 বেগে চলতে শুরু করে।

রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্রানুযায়ী,

m_1 \vec {v_1} + m_2 \vec {v_2} = 0
\vec {v_2} = \frac {m_1} {m_2} \vec {v_1}
এক্ষেত্রে m_2 ভরের বস্তুকণার বেগের অভিমুখ m_1 ভরের বস্তুকণার বেগের বিপরীত অভিমুখে।

\frac {\left | v_1 \right |}{\left | v_2 \right |} = \frac {m_2}{m_1}

দুটি বস্তুকণার বেগের মান বস্তুকণা দুটির ভরের মানের সাথে ব্যস্তানুপাতিক।

নিউটনের গতিসূত্র

1687 খ্রিষ্টাব্দে বিজ্ঞানী স্যার আইজ্যাক নিউটন তাঁর ‘পিন্সিপিয়া’ নামক গ্রন্থে বস্তুর গতি বিশেষত মহাবিশ্বের গতিশীল বস্তুগুলির গতি সংক্রান্ত তিনটি সূত্রের প্রকাশ করেন।

পদার্থবিদ্যার পুরানো কোনো তত্ত্ব থেকে এগুলিকে প্রমাণ করা যায় না।
গতি সম্পর্কীয় এই সূত্রগুলিই ‘নিউটনের গতিসূত্র’ নামে বহুল প্রচলিত।

নিউটনের গতিসূত্রগুলির বিবৃতির বর্ণনা

নিউটনের প্রথম সূত্র

বাইরে থেকে কোনো বল প্রয়োগ করা না হলে, স্থির বস্তু চিরকাল স্থির অবস্থায় থাকবে এবং সচল বস্তু চিরকাল সমবেগে একই সরলরেখা বরাবর চলতে থাকবে।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র

সময়ের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বলের সামানুপাতিক এবং বল যেদিকে প্রয়োগ করা হয় বস্তুটির ভরবেগের পরিবর্তনও সেই দিকেই ঘটে থাকে।

নিউটনের তৃতীয় সূত্র

প্রত্যেক ক্রিয়ারই একটি সমান ও বিপরীত প্রতিক্রিয়া আছে।

ভরবেগ কাকে বলে?

ভর ও বেগের সমন্বয়ে কোনো গতিশীল বস্তুতে যে গতীয় ধর্মের সৃষ্টি হয়, তাকেই ঐ বস্তুর ভরবেগ বলা হয়।
সহজ ভাষায় বলতে গেলে ভরবেগ হল বস্তুর ভর ও তার গতিবেগের গুনফল।


একাদশ শ্রেনি থেকে → বাংলা | ইংরাজি

বস্তুর ভর একটি স্কেলার রাশি, কিন্তু গতিবেগ ভেক্টর রাশি, সুতরাং ভরবেগও একটি ভেক্টর রাশি, যার অভিমুখ বস্তুটির গতিবেগের অভিমুখেই নির্দেশ করে।

নিউটন ভরবেগকে ‘গতির পরিমাণ’ (Quantity of motion) হিসেবেই বর্ণনা করেছিলেন।

ভরবেগের একক :

ভরের একক × বেগের একক

SI পদ্ধতিতে : kgm/s
CGS পদ্ধতিতে : g cm/s
FPS পদ্ধতিতে : lb. ft/s

ভরবেগের মাত্রা = ভরের মাত্রা × বেগের মাত্রা = [MLT^{-1}]

একটা উদাহরণের সাহায্যে ভরবেগ ব্যপারটা আরো ভালোভাবে বুঝে নেওয়া যাক।

ধরি দুটি গাড়ির ভর এক কিন্তু বেগ আলাদা। ফলে, গাড়ি দুটির ভরবেগের মানও আলাদা হবে। ফলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের বিবৃতি অনুযায়ী, একই সময়ের ব্যবধানে যদি গাড়ি দুটিকে থামাতে চাই তবে বেশী বেগে চলা গাড়িটির ওপর বেশী বল প্রয়োগ করতে হবে।

সুতরাং এটা বলা যায় যে, কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ বল প্রয়োগ করে কোনো বস্তুকে গতিশীল অবস্থা থেকে স্থির অবস্থায় নিয়ে আসতে যে সময় লাগবে তা শুধুমাত্র তার প্রাথমিক বেগের উপরই নির্ভর করে না, তা নির্ভর করে ভর ও বেগের সমন্বয়ে অর্জিত ধর্ম ভরবেগের উপর।

বলের ধারণা

নিউটনের প্রথম গতিসূত্র অনুসারে, আমরা জেনেছি যে, বাইরে থেকে কোনো বল প্রয়োগ না করলে কোনো বস্তুর অবস্থার পরিবর্তন করা যায় না, অর্থাৎ বস্তুটি স্থির অবস্থায় বা গতিশীল বস্তু সমবেগে একই সরলরেখা বরাবর চলতে থাকবে।


একাদশ শ্রেনি থেকে → অর্থনীতি | ভূগোল

তবে দৈনন্দিন জীবনে ঘর্ষণ ইত্যাদি বিরুদ্ধে বলের অস্তিত্ব থাকে। সেক্ষেত্রে প্রযুক্ত বল যদি এই বিরুদ্ধ বলের চেয়ে বেশি হয় তবেই বল প্রয়োগ করে বস্তুর অবস্থার পরিবর্তন ঘটানো সম্ভব।

অর্থাৎ স্থির বস্তুকে গতিশীল করা বা গতিশীল বস্তুর গতি বাড়ানো বা কমানো সম্ভব।

সংজ্ঞার আকারে বলতে গেলে বলা যায়, বাইরে থেকে যা প্রয়োগ করে কোনো বস্তুর স্থির অবস্থা বা সমগতিতে সরলরেখা বরাবর গতিশীল অবস্থার পরিবর্তন করা হয় বা পরিবর্তনের চেষ্টা করা হয়, তাকে বল বলা হয়।

বল একটি ভেক্টর রাশি সুতরাং এর মান, দিক উভয়ই আছে। বলের ক্রিয়া রেখা একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।

যেমন, F বল প্রয়োগ করে একটি স্থির বস্তুকণাকে গতিশীল করা যায়। এবার F বল ডানদিকে প্রয়োগ হলে, বস্তুর সরণ হয় ডানদিকে আবার বামদিকে প্রয়োগ করা হলে বস্তুর সরণ হয় বামদিকে।

আর একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা যাক।

উপরের চিত্রের গোলকটি ধরে নিই সমতল মেঝের ওপরে স্থির অবস্থায় আছে। যদি গোলকের কেন্দ্রবিন্দু ‘O’ তে F_2 বল প্রয়োগ করা হয়, গোলকটির চলন হয় সরলরেখা বরাবর ডানদিকে, আবার গোলকের পৃষ্ঠে A বিন্দুতে F_1 বল প্রয়োগ করা হলে গোলকটিতে ঘড়ির কাঁটার গতির অভিমুখে (Clockwise) একটি ঘূর্ণন বলের উৎপত্তি হয়।

সুতরাং, বলের ক্রিয়ারেখা ও ক্রিয়াবিন্দু গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে বস্তুর গতির ক্ষেত্রে।

বলের ঘাত বা আবেগের ধারণা

স্থিরবস্তুতে গতি উৎপন্ন করতে বলের কার্যকারিতা ঠিক কতটা তা আগেই আলোচনা করা হয়েছে। এক্ষেত্রে শুধু বলের মান নয়, কত সময়ব্যাপী বলটা ক্রিয়া করছে সেটা জানাও অত্যাবশ্যক।

সুতরাং, বল কর্তৃক উৎপন্ন মোট ফলটাই (total effect) জানা দরকারী, এটাই বলের ঘাত বা আবেগ।

বলের ঘাত বা আবেগ কাকে বলে?

কোনো বস্তুর ওপর একটি স্থির মানের বল কিছু সময়ব্যাপী ক্রিয়া করলে ওই বলের মান ও বলের ক্রিয়াকালের গুণফলকে বলের ঘাত বা আবেগ বলা হয়।

ধরা যাক, m ভরের বস্তুর উপর স্থির মানের F বল t সময় ধরে ক্রিয়া করল। সুতরাং, বলের ঘাত হবে = \bar{F} \times t
বল যেহেতু একটি ভেক্টর রাশি, যার অভিমুখ বলের অভিমুখের দিকেই হয়ে থাকে।

এবার, এই স্থির মানের \bar{F} বলের ক্রিয়ায় m ভরের বস্তুর বেগ \bar{u} থেকে পরিবর্তিত হয়ে \bar{v} হয়, অর্থাৎ
বস্তুটির ত্বরণ হয়=\bar{a} = \frac {\bar{v} - \bar{u}}{t}


একাদশ শ্রেণি থেকে → Physics | Chemistry | Biology | Computer

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রের বিবৃতি অনুযায়ী,

প্রযুক্ত বল = বস্তুর ভর × বস্তুর ত্বরণ
\vec {(F)} = m \vec{a}
m \times (\frac {\vec{v} - \vec{u}}{t})
বলের ঘাত \vec{F} \times t = m \times (\frac {\bar{v} - \bar{u}}{t}) \times t
m \bar{v}- m \bar{u}
= বস্তুর অন্তিম ভরবেগ – বস্তুর প্রাথমিক ভরবেগ
= বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তন।

বলের ঘাত বা আবেগ = বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তন

বলের ঘাতের একক ও মাত্রা ভরবেগের একক ও মাত্রার অনুরূপ।

স্থির মানের বল না হয়ে পরিবর্তনশীল বল \vec{F}(t) বল t সময় ধরে প্রয়োগ করা হলে বলের ঘাত হবে।
\int_{0}^{t} \vec{F}(t)dt

লেখচিত্রের সাহায্যে ঘাতের বর্ণনার ক্ষেত্রে x অক্ষে সময় এবং y অক্ষ বরাবর বলকে সূচিত করা হয়।
বল নির্দেশক রেখা ও সময় অক্ষের মর্ধ্যবর্তী ক্ষেত্রফলই বলের ঘাতের মান নির্দেশ করে।

AB : স্থিরমানের বল এবং DE : সময়ের সাপেক্ষে পরিবর্তনশীল বলের মান নির্দেশ করে।
স্থিরমানের বলের ক্ষেত্রে, বলের ঘাত = OABC আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
পরিবর্তনশীল বলের ক্ষেত্রে, বলের ঘাত = ODEF ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সাথে সমান।

ঘাতবলের ধারণা

বৃহৎ মানের বল খুব কম সময় ধরে বস্তুর উপর ক্রিয়া করলে তাকে ঘাতবল বলা হয়।
যেমন- ক্রিকেটের সময় ব্যাট দিয়ে বলকে আঘাত করা হাতুড়ি দিয়ে পেরেক মারা ফুটবলে লাথি মারা— এগুলি ঘাতবলের উদাহরণ, এক্ষেত্রে ক্রিয়াশীল বলটি মুহূর্তের জন্য ক্রিয়া করে।

প্রতিমিত ও অপ্রতিমিত বলের ধারণা: (Balanced force & unbalanced force)

যখন দুটি সমমানের বল পরস্পরের বিপরীত অভিমুখে ক্রিয়া করে, তাদের প্রতিমিত বল বলা হয়ে থাকে। প্রতিমিত বলের দরুন কোনো বস্তুতে গতির সৃষ্টি হয় না।
আবার যখন দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী বল সমমানের হয় না, তাদের অপ্রতিমিত বল বলা হয়ে থাকে। যেমন, দড়ি টানাটানি খেলার সময় দুটি দল যদি সমমানের বল প্রয়োগ করে তবে দড়িটি একই জায়গায় থেকে যায়, এটি প্রতিমিত বলের উদাহরণ।

আবার এই খেলায় যদি এক পক্ষ দল (ধরি, 50 N) আর এক পক্ষ দল (30 N) বল প্রয়োগ করে দড়ি টানাটানি করে, এখন এটি অপ্রতিমিত বলের উদাহরণ হয়ে যায়।
এক্ষেত্রে, যেই দল 50 N বল প্রয়োগ করে তারাই জয়ী হয়। গাছ থেকে মাটিতে ফল পড়ে যাওয়ায় অপ্রতিমিত বলের উদাহরণ, এখানে বাতাসের বিরুদ্ধ বলের চেয়ে অভিকর্ষ বল বেশী হওয়ায় ফলটি মাটিতে পড়ে।

উপরের চিত্রের সাহায্যে প্রতিমিত ও অপ্রতিমিত বলের উদাহরণ বোঝাবার চেষ্টা করা হল।
সমাপ্ত।


এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্য ভাবে কোন মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।


লেখিকা পরিচিতি

প্রেসিডেন্সী বিশ্ববিদ্যালয় এবং IIT খড়গপুরের পদার্থবিদ্যা বিভাগের প্রাক্তনী স্বধীতি মাঝি। পদার্থবিদ্যা চর্চার পাশাপাশি ছবি আঁকা, গান গাওয়া এবং বই পড়ায় সমান উৎসাহী স্বধীতি।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাবার জন্য –