bijganitik-songkhyamalar-sorolikoron
WB-Class-8

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ


আগের পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গ.সা.গু ও ল.সা.গু সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ সম্পর্কে আলোচনা করবো।

একটি বাঁশের কিছু অংশ জলে আছে, কিছু অংশ কাদায় আছে এবং বাকী অংশ জলের ওপরে আছে।

ধরি, বাঁশটির \frac{1}{3} অংশ কাদায় রয়েছে এবং \frac{1}{4} অংশ আছে জলে।
মনে করি, সম্পূর্ণ বাঁশটি 1 অংশ।
∴ জলে ও কাদায় আছে বাঁশটির (\frac{1}{4}+ \frac{1}{3}) অংশ
= (\frac{3+4}{12}) অংশ
=\frac{7}{12} অংশ
∴ জলের ওপরে আছে বাঁশটির (1 - \frac{7}{12}) অংশ
=(\frac{12-7}{12}) অংশ
=\frac{5}{12} অংশ
আবার, মনে করি সুতিথির কাছে 4\times 2 মিটার লাল ফিতে আছে। তার মধ্যে 2x মিটার লাল ফিতে সে তার বোন পল্লবীকে দিয়েছে চুলে বাঁধার জন্য।

 

অর্থাৎ পল্লবী পেয়েছে মোট ফিতের \frac{2x}{4x^2} অংশ
= \frac{2x}{2\times 2\times x\times x}
= \frac{1}{2x} অংশ
\frac{2x}{4x^2} =\frac{1}{2x}
অর্থাৎ \frac{2x}{4x^2} কে লঘিষ্ঠ আকারে বা সংক্ষিপ্ত রূপে প্রকাশ করা হল।
তাহলে সুতিথির কাছে লাল ফিতে পড়ে রইল
= (1 - \frac{1}{2x}) অংশ
= \frac{(2x-1)}{2x} অংশ

আমরা সর্বদা চেষ্টা করব কোন ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে নিয়ে আসার যেখানে লঘিষ্ঠ আকার করা সম্ভব।

লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করার জন্য লব ও হরকে উৎপাদকে ভাঙতে হবে।

এখন আমরা কিছু উদাহরণ দেখে নেব।

(A) নীচের বীজগাণিতিক ভগ্নাংশগুলিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর

1) \frac{18a^4b^5c^2}{21a^7b^2}
সমাধান- 18 = 2 \times 3 \times 3
21 = 3 \times 7
= \frac{2\times 3\times 3\times a\times a\times a\times a\times b\times b\times b\times b\times b\times c\times c}{3\times 7\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times b\times b}
=\frac{2\times 3}{7}\times \frac{b\times b\times b\times c\times c}{a\times a}
= \frac{6}{7} \frac{b^3c^2}{a^2}

jump-magazine-subscription

 

2) \frac{(x^2-3x+2)}{(x^2-1)}
সমাধান- (x^2 - 3x + 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2) (x - 1)
(x^2 - 1) = [(x)^2 - (1)^2] = (x + 1) (x - 1)
\frac{x^2-3x+2}{x^2-1} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}
=\frac{(x-2)}{(x+1)}

3) \frac{(p^3+q^3)}{(p^2-q^2)}\div \frac{(p+q)}{(p-q)}
= \frac{(p)^3+(q)^3}{(p)^2-(q)^2}\div \frac{(p+q)}{(p-q)}
= \frac{(p+q)(p^2-pq+q^2)}{(p+q)(p-q)}\div \frac{(p+q)}{(p-q)}
=\frac{(p+q) (p^2-pq+q^2)}{(p+q)(p-q)}\times \frac{(p-q)}{(p+q)}
= \frac{(p^2-pq+q^2)}{(p+q)}

4) \frac{x^2-x-6}{x^2+4x-5}\times \frac{x^2+6x+5}{x^2-4x+3}
=\frac{x^2-3x+2x-6}{x^2+5x-x-5}\times \frac{x^2+5x+x+5}{x^2-3x-x+3}
=\frac{x(x-3)+2(x-3)}{x(x+5)-1(x+5)}\times \frac{x(x+5)+1(x+5)}{x(x-3)-1(x-3)}
= \frac{(x-3)(x+2)}{(x+5)(x-1)}\times \frac{(x+5)(x+1)}{(x-3)(x-1)}
= \frac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x-1)}
=\frac{x^2+2x+x+2}{x^2-2x+1} =\frac{x^2+3x+2}{x^2-2x+1} (উত্তর)
\frac{x}{y}+ \frac{y}{x} এই ধরনের যোগ আমরা কীভাবে করব?
প্রথমে দুটি ভগ্নাংশের হরকে সাধারণ হরে পরিণত করতে হবে।
অর্থাৎ, y ও x এর ল.সা.গু করব = x \times y = cy
\frac{x}{y} + \frac{y}{x}
= \frac{x\times x + y\times y}{xy} [xy\div y=x; xy\div x=y; x\times x=x^2; y\times y=y^2]
= \frac{x^2+y^2}{xy}
[যদি দুটি ভগ্নাংশের বিয়োগ থাকে, একই পদ্ধতিতে যোগের স্থানে শুধু বিয়োগ হবে।]

(B) নীচের বীজগাণিতিক ভগ্নাংশগুলিকে সরলতম আকারে প্রকাশ কর

1) \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}
ab, bc, ca এর ল.সা.গু করে তিনটি ভগ্নাংশের হরকে একটি সাধারণ হরে পরিণত করব।
∴ ল.সা.গু = abc
\frac{(c+a+b)}{abc} (উত্তর) [abc\div ab=c; abc\div bc=a; abc\div ca=b]


অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

 

2) \frac{x^2+a^2}{ab}+\frac{x-a}{ax}-\frac{x^3}{b}
সমাধান-
\frac{x(x^2+a^2)+b(x-a)-ax\times x^3}{abx} [ab, ax, b এর ল.সা.গু = abx]
=\frac{x^3+a^2x+xb-ab-ax^4}{abx}
=\frac{x(x^2+a^2+b-ax^3)-ab}{abx}
=\frac{(x^2+a^2+b-ax^3-ab)}{ab}

3) \frac{1}{x^2-3x+2} + \frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-4x+3}
সমাধান =\frac{1}{x^2-2x-x+2}+\frac{1}{x^2-3x-2x+3}+\frac{1}{x^2-3x-x+3}
=\frac{1}{x(x-2)-1(x-2)}+\frac{1}{x(x-3)-2(x-3)}+\frac{1}{x(x-3)-1(x-3)}
=\frac{1}{(x-2)(x-1)}+\frac{1}{(x-3)(x-2)}+\frac{1}{(x-3)(x-1)}
=\frac{(x-3)+(x-1)+(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}
=\frac{3x-6}{(x-1)(x-2)(x-3)}
=\frac{3(x-2)}{ (x-1)(x-2)(x-3)}
=\frac{3}{(x-1)(x-3)}

4) \frac{\frac{a^2}{(x-a)}+\frac{b^2}{(x-b)}+\frac{c^2}{(x-c)}+a+b+c}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}
= \frac{\frac{a^2}{(x-a)}+a+\frac{b^2}{(x-b)}+b+\frac{c^2}{(x-c)+c}}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}
=\frac{\frac{a^2+ax-a^2}{x-a}+\frac{b^2+bx-b^2}{x-b}+\frac{c^2+cx-c^2}{x-c}}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}
=\frac{\frac{ax}{x-a}+\frac{bx}{x-b}+\frac{cx}{x-c}}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}
=\frac{x[\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}]}{[\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}]}=x (উত্তর)

5) \frac{y^2+yz+z^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{z^2+zx+x^2}{(y-z)(x-y)}+\frac{x^2+xy+y^2}{(z-x)(y-z)}
সমাধান-
\frac{y^2+yz+z^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{z^2+zx+x^2}{(y-z)(x-y)}+\frac{x^2+xy+y^2}{(z-x)(y-z)}
=\frac{(y-z)(y^2+yz+z^2)+(z-x)(z^2+zx+x^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
=\frac{(y^3-z^3)+(z^3-x^3)+(x^3-y^3)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
=\frac{y^3-z^3+z^3-x^3+x^3-y^3}{(x-y)(y-z)(z-x)}
=\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}= 0 (উত্তর)

সমাপ্ত

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।