বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ

আগের পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গ.সা.গু ও ল.সা.গু সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ সম্পর্কে আলোচনা করবো।

একটি বাঁশের কিছু অংশ জলে আছে, কিছু অংশ কাদায় আছে এবং বাকী অংশ জলের ওপরে আছে।

ধরি, বাঁশটির $\frac{1}{3}$ অংশ কাদায় রয়েছে এবং $\frac{1}{4}$ অংশ আছে জলে।
মনে করি, সম্পূর্ণ বাঁশটি 1 অংশ।
∴ জলে ও কাদায় আছে বাঁশটির ( $\frac{1}{4}+ \frac{1}{3})$ অংশ
$= (\frac{3+4}{12})$ অংশ
$=\frac{7}{12}$ অংশ
∴ জলের ওপরে আছে বাঁশটির $(1 - \frac{7}{12})$ অংশ
$=(\frac{12-7}{12})$ অংশ
$=\frac{5}{12}$ অংশ
আবার, মনে করি সুতিথির কাছে $4\times 2$ মিটার লাল ফিতে আছে। তার মধ্যে $2x$ মিটার লাল ফিতে সে তার বোন পল্লবীকে দিয়েছে চুলে বাঁধার জন্য।

অর্থাৎ পল্লবী পেয়েছে মোট ফিতের $\frac{2x}{4x^2}$ অংশ
$= \frac{2x}{2\times 2\times x\times x}$
$= \frac{1}{2x}$ অংশ
$\frac{2x}{4x^2} =\frac{1}{2x}$
অর্থাৎ $\frac{2x}{4x^2}$ কে লঘিষ্ঠ আকারে বা সংক্ষিপ্ত রূপে প্রকাশ করা হল।
তাহলে সুতিথির কাছে লাল ফিতে পড়ে রইল
$= (1 - \frac{1}{2x})$ অংশ
$= \frac{(2x-1)}{2x}$ অংশ

আমরা সর্বদা চেষ্টা করব কোন ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে নিয়ে আসার যেখানে লঘিষ্ঠ আকার করা সম্ভব।

লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করার জন্য লব ও হরকে উৎপাদকে ভাঙতে হবে।

এখন আমরা কিছু উদাহরণ দেখে নেব।

(A) নীচের বীজগাণিতিক ভগ্নাংশগুলিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর

1) $\frac{18a^4b^5c^2}{21a^7b^2}$
সমাধান- $18 = 2 \times 3 \times 3$
$21 = 3 \times 7$
$= \frac{2\times 3\times 3\times a\times a\times a\times a\times b\times b\times b\times b\times b\times c\times c}{3\times 7\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times a\times b\times b}$
$=\frac{2\times 3}{7}\times \frac{b\times b\times b\times c\times c}{a\times a}$
$= \frac{6}{7} \frac{b^3c^2}{a^2}$

2) $\frac{(x^2-3x+2)}{(x^2-1)}$
সমাধান- $(x^2 - 3x + 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2) (x - 1)$
$(x^2 - 1) = [(x)^2 - (1)^2] = (x + 1) (x - 1)$
∴ $\frac{x^2-3x+2}{x^2-1} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{(x-2)}{(x+1)}$

3) $\frac{(p^3+q^3)}{(p^2-q^2)}\div \frac{(p+q)}{(p-q)}$
$= \frac{(p)^3+(q)^3}{(p)^2-(q)^2}\div \frac{(p+q)}{(p-q)}$
$= \frac{(p+q)(p^2-pq+q^2)}{(p+q)(p-q)}\div \frac{(p+q)}{(p-q)}$
$=\frac{(p+q) (p^2-pq+q^2)}{(p+q)(p-q)}\times \frac{(p-q)}{(p+q)}$
$= \frac{(p^2-pq+q^2)}{(p+q)}$

4) $\frac{x^2-x-6}{x^2+4x-5}\times \frac{x^2+6x+5}{x^2-4x+3}$
$=\frac{x^2-3x+2x-6}{x^2+5x-x-5}\times \frac{x^2+5x+x+5}{x^2-3x-x+3}$
$=\frac{x(x-3)+2(x-3)}{x(x+5)-1(x+5)}\times \frac{x(x+5)+1(x+5)}{x(x-3)-1(x-3)}$
$= \frac{(x-3)(x+2)}{(x+5)(x-1)}\times \frac{(x+5)(x+1)}{(x-3)(x-1)}$
$= \frac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x-1)}$
$=\frac{x^2+2x+x+2}{x^2-2x+1} =\frac{x^2+3x+2}{x^2-2x+1}$ (উত্তর)
$\frac{x}{y}+ \frac{y}{x}$ এই ধরনের যোগ আমরা কীভাবে করব?
প্রথমে দুটি ভগ্নাংশের হরকে সাধারণ হরে পরিণত করতে হবে।
অর্থাৎ, y ও x এর ল.সা.গু করব $= x \times y = cy$
∴ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
$= \frac{x\times x + y\times y}{xy}$ [ $xy\div y=x; xy\div x=y; x\times x=x^2; y\times y=y^2$ ]
$= \frac{x^2+y^2}{xy}$
[যদি দুটি ভগ্নাংশের বিয়োগ থাকে, একই পদ্ধতিতে যোগের স্থানে শুধু বিয়োগ হবে।]

(B) নীচের বীজগাণিতিক ভগ্নাংশগুলিকে সরলতম আকারে প্রকাশ কর

1) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$ab, bc, ca$ এর ল.সা.গু করে তিনটি ভগ্নাংশের হরকে একটি সাধারণ হরে পরিণত করব।
∴ ল.সা.গু = abc
$\frac{(c+a+b)}{abc}$ (উত্তর) $[abc\div ab=c; abc\div bc=a; abc\div ca=b]$

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান | ভূগোল

2) $\frac{x^2+a^2}{ab}+\frac{x-a}{ax}-\frac{x^3}{b}$
সমাধান-
$\frac{x(x^2+a^2)+b(x-a)-ax\times x^3}{abx}$ [ $ab, ax, b$ এর ল.সা.গু $= abx$ ]
$=\frac{x^3+a^2x+xb-ab-ax^4}{abx}$
$=\frac{x(x^2+a^2+b-ax^3)-ab}{abx}$
$=\frac{(x^2+a^2+b-ax^3-ab)}{ab}$

3) $\frac{1}{x^2-3x+2} + \frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-4x+3}$
সমাধান $=\frac{1}{x^2-2x-x+2}+\frac{1}{x^2-3x-2x+3}+\frac{1}{x^2-3x-x+3}$
$=\frac{1}{x(x-2)-1(x-2)}+\frac{1}{x(x-3)-2(x-3)}+\frac{1}{x(x-3)-1(x-3)}$
$=\frac{1}{(x-2)(x-1)}+\frac{1}{(x-3)(x-2)}+\frac{1}{(x-3)(x-1)}$
$=\frac{(x-3)+(x-1)+(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
$=\frac{3x-6}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
$=\frac{3(x-2)}{ (x-1)(x-2)(x-3)}$
$=\frac{3}{(x-1)(x-3)}$

4) $\frac{\frac{a^2}{(x-a)}+\frac{b^2}{(x-b)}+\frac{c^2}{(x-c)}+a+b+c}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}$
$= \frac{\frac{a^2}{(x-a)}+a+\frac{b^2}{(x-b)}+b+\frac{c^2}{(x-c)+c}}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}$
$=\frac{\frac{a^2+ax-a^2}{x-a}+\frac{b^2+bx-b^2}{x-b}+\frac{c^2+cx-c^2}{x-c}}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}$
$=\frac{\frac{ax}{x-a}+\frac{bx}{x-b}+\frac{cx}{x-c}}{\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}}$
$=\frac{x[\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}]}{[\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}+\frac{c}{x-c}]}=x$ (উত্তর)

5) $\frac{y^2+yz+z^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{z^2+zx+x^2}{(y-z)(x-y)}+\frac{x^2+xy+y^2}{(z-x)(y-z)}$
সমাধান-
$\frac{y^2+yz+z^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{z^2+zx+x^2}{(y-z)(x-y)}+\frac{x^2+xy+y^2}{(z-x)(y-z)}$
$=\frac{(y-z)(y^2+yz+z^2)+(z-x)(z^2+zx+x^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$
$=\frac{(y^3-z^3)+(z^3-x^3)+(x^3-y^3)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$
$=\frac{y^3-z^3+z^3-x^3+x^3-y^3}{(x-y)(y-z)(z-x)}$
$=\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}= 0$ (উত্তর)