বিপ্রতীপ কোণের ধারণা

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বিপ্রতীপ কোণের ধারণা

আজ বিদ্যালয়ে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ক্লাসে শিক্ষিকা একটি কাঁচি হাতে নিয়ে প্রবেশ করলেন।

কাঁচি দেখে সবাই প্রথমে অবাক, কেউ কেউ তো আবার একটু ভয়ও পাচ্ছে কি হবে কাঁচি দিয়ে। তারপর শিক্ষিকা নিজেই সকলের ভয়, কৌতূহল দূর করে দিলেন। তিনি ছাত্রছাত্রীদের উদ্দেশ্যে বললেন—“এটা কী বলতো? এটা দিয়ে আমরা কী করি?”

ছাত্রছাত্রীরা সমবেত স্বরে উত্তর দিল— “এটা কাঁচি। এটা কোন কিছু কাটতে কাজে লাগে”। শিক্ষিকা বললেন, “আজ আমরা কাঁচি দিয়ে একটা নতুন মজার জিনিস শিখব।”

শিক্ষিকা বললেন যে “দেখো আমরা কাঁচির দুটি কোণ দেখতে পাচ্ছি।”
“কোণ কাকে বলে তোমরা সবাই জানো তো?”

শিক্ষিকা প্রশ্ন করলেন।
সকলে সম্মতি জানানোয়, শিক্ষিকা জিজ্ঞেস করলেন ও বললেন —

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান | ভূগোল

“কোণ কাকে বলে?”

“দুটি রশ্মির যদি একটি সাধারণ ছেদবিন্দু থাকে তবে তাদের মধ্যবর্তী অংশকে কোণ বলে।”

OA একটি রশ্মি এবং OB একটি রশ্মি এবং O হল ছেদবিন্দু।
শিক্ষিকা রনিতার উত্তরে খুশি হলেন।

তিনি আবার বললেন, “দেখো উল্টো দিকেও একজোড়া কোণ রয়েছে।”
এবার তিনি দুটি পেনসিল নিয়ে তাদের মাঝখানে সুতো দিয়ে বেঁধে দিলেন।

এক্ষেত্রে, দুটি পেনসিলকে যদি আমরা এরকম (×) ক্রস চিহ্নের আকারে বেঁধে দিই। এখানেও দুই জোড়া বা চারটি কোণ উৎপন্ন হবে।
ঘড়ির কাঁটার দিক অনুসারে, আমরা এই কোণগুলির নাম দেব ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 এই অনুসারে।
চাঁদা দিয়ে মেপে দেখছি, ∠1 = 120˚
∠2 = 60˚
∠3 = 120˚
∠4 = 60˚
অর্থাৎ ∠1 এর মান ও ∠3 এর মান সমান = 120˚
এবং ∠2 এর মান ও ∠4 এর মান সমান = 60˚

বিপ্রতীপ কোণ কাকে বলে?

দুটি সরলরেখা যদি পরস্পর পরস্পরকে ছেদ করে বা একটি অপরটির উপর দণ্ডায়মান অবস্থায় থাকে তবে দুই জোড়া বিপরীত দিকে কোণ উৎপন্ন হয় তাদের বিপ্রতীপ কোণ বলে।

∠1 এর বিপরীত কোণ ∠3 এবং ∠2 এবং ∠4 হল পরস্পর বিপরীত কোণ। এবং সর্বদা ∠1 ও ∠3 এবং ∠2 ও ∠4 এর মান সমান হবে।

∠1 ও ∠3 এবং ∠2 ও ∠4 এর মান সর্বদা সমান হয় তা আমরা প্রমাণ করে দেখবো।

উপপাদ্য – ১

দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে যে দুজোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয় তাদের প্রতিজোড়া কোণের পরিমাণ সমান।

প্রদত্ত –  দুটি সরলরেখা AB ও CD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করছে এবং
তার ফলে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ অর্থাৎ ∠AOC, ∠COD, ∠BOD ও ∠AOB উৎপন্ন হল।
আমাদের প্রমাণ করতে হবেঃ ∠AOC = ∠BOD এবং ∠AOB = ∠COD
অর্থাৎ ∠1 = ∠3 এবং ∠2 = ∠4
প্রমাণ –
আমরা জানি যে, একটি সরলরেখার ওপর একটি রশ্মি দণ্ডায়মান হলে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের সমষ্টি 180˚ বা দুই সমকোণ।
অর্থাৎ চিত্র থেকে, ∠AOC = ∠DOC = 180˚—(1) [∵ AD সরলরেখার ওপর OC রশ্মি দণ্ডায়মান]
এবং ∠DOC = ∠BOD = 180˚—(2) [∵ BC সরলরেখার ওপর $OD রশ্মি দণ্ডায়মান]
(1) ও (2) থেকে পাই
∠AOC + ∠DOC = ∠DOC + ∠BOD
বা, ∠AOC = ∠BOD
অর্থাৎ ∠1 = ∠3 (প্রমাণিত)
আবার একই ভাবে চিত্র থেকে পাই,
∠AOB = ∠BOD = 180˚— (3) [∵ AD সরলরেখার ওপর OB রশ্মি দণ্ডায়মান]
এবং ∠BOD= ∠COD = 180˚— (4) [∵ BC সরলরেখার ওপর OD রশ্মি দণ্ডায়মান]
(3) ও (4) থেকে পাই,
∠AOB + ∠BOD = ∠BOD+ ∠COD
বা, ∠AOB = ∠COD
অর্থাৎ ∠2 = ∠4 (প্রমাণিত)

এবারে এসো ছবির সাহায্যে আমরা বিভিন্ন কোণের মান নির্ণয় করি।

প্রথম উদাহরণ

∠TOS = 20˚, ∠ROQ = 60˚ হলে ∠POT, ∠ROP, ∠QOS এর মান কত?

সমাধান – ∠ROQ = বিপ্রতীপ ∠POS
∠ROP = বিপ্রতীপ ∠QOS
∴ ∠POS = 60˚
∴ ∠POT + ∠TOS = 60˚
বা, ∠POT = 60˚ – 20˚ = 40˚
আবার, ∠ROP + ∠ROQ = 180˚
বা, ∠ROP = 180˚ – 60˚ = 120
সুতরাং ∠QOS = বিপ্রতীপ ∠ROP = 60˚

দ্বিতীয় উদাহরণ

∠BOD, ∠BOC এবং ∠AOC এর পরিমাপ কত?

সমাধান – ∠AOD = বিপ্রতীপ ∠COB
∴ ∠BOC = 120˚
আবার, ∠BOC + ∠BOD= 180˚
বা, ∠BOD = 180˚ – 120˚ = 60˚
∴ ∠AOC = বিপ্রতীপ ∠BOD = 60˚

তৃতীয় উদাহরণ

OP, OQ OR এবং OS সমবিন্দু। OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত। P ও R বিন্দু O বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠POQ = ∠ROS এবং ∠POS = ∠QOR। যদি ∠POQ = 50˚ হয় তবে ∠QOR, ∠ROS এবং ∠POS এর পরিমাণ কত?

সমাধান – দেওয়া আছে, ∠POS = ∠QOR
এবং ∠POQ = 50˚
সুতরাং ∠POQ = বিপ্রতীপ ∠ROS
∴ ∠ROS = 50˚
আবার SQ সরলরেখার ওপর OR রশ্মি দণ্ডায়মান।
∠ROS + ∠ROQ = 180˚
বা, ∠ROQ = 180˚ – 50˚ = 130˚
চিত্র থেকে পাই,
∠ROQ = বিপ্রতীপ ∠POS$
∴ ∠POS = 50˚

পর্ব সমাপ্ত।

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করতে ভুলো না।

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।

Join JUMP Magazine Telegram

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –

• ফলো করো – WhatsApp চ্যানেল
• সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
• লাইক করো – facebook পেজ
• সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
• Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা

8-M-7