সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম

আচ্ছা, রেললাইনতো আমরা সবাই জানি কেমন দেখতে হয়।

ট্রেনে করে যেতে যেতে আমরা সবাই পাশের লাইনটিকে দেখতে পাই। অনেকটা এরকম দেখতে তাইনা।

দেখছি যে দুটো লাইন একইভাবে অসীম অনন্ত পর্যন্ত চলছে, কোন শেষ নেই। অর্থাৎ এরা কোনদিন মিলিত হবেনা বা একে অপরকে কোনদিন ছেদ করবে না।

অর্থাৎ “যে দুটো সরলরেখা কোনদিন মিলিত হবে না সেই দুটো রেখাকে আমরা সমান্তরাল সরলরেখা বলব।”

আবার মনে কর, কোন জংশন স্টেশনে ট্রেন যখন প্ল্যাটফর্মে ঢোকে তখন দেখবে অনেক গুলো আলাদা আলাদা রেললাইন থাকে। অনেক সময় দেখা যায় একটি রেললাইন আরেকটির ওপর দিয়ে চলে গেছে। তখন রেললাইন দুটিকে দেখতে হয় অনেকটা নীচের ছবিটির মত। তাইনা!

অর্থাৎ দুটি সরলরেখাকে একটি সরলরেখা দুই বা তিনটি বিন্দুতে ছেদ করেছে বা ভেদ করে বেরিয়ে গেছে। এইরুপ সরল রেখাংশগুলিকে বলা হয় ছেদক বা ভেদক।

এখন আমরা দুটি সমান্তরাল সরলরেখা এবং একটি ছেদক এঁকে বিষয়টি আরো সহজভাবে বুঝে নেবো।

দুটি সমান্তরাল সরলরেখা AB ও CD ও যাদের ছেদক EF। 8 টি কোণ তৈরী হল যাদের ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8 নামকরণ করলাম।

বিপ্রতীপ কোণের ধারণা তোমরা আগের পর্বেই পেয়েছ, তবে আরো একবার মনে করে নিতে চাইলে দেখে নিতে পারো এই লিঙ্ক থেকে → বিপ্রতীপ কোণের ধারণা

এখন ওপরের চিত্র থেকে আমরা পাই,
∠1 = বিপ্রতীপ ∠3
∠2 = বিপ্রতীপ ∠4
আবার, ∠5 = বিপ্রতীপ ∠7
∠6 = বিপ্রতীপ ∠8
∠1, ∠2, ∠7, ∠8 বাইরের দিকে অবস্থিত তাই তারা বহিঃস্থ কোণ।
∠3, ∠4, ∠5, ∠6 ভিতরের দিকে অবস্থিত তাই তারা অন্তঃস্থ কোণ।

∠1 ও ∠5, ∠2 ও ∠6 আবার ∠4 ও ∠8, ∠3 ও ∠7 এই চার জোড়া কোণদ্বয়কে একই রকম দেখতে তাই এদের নাম অনুরূপ কোণ।

AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখা এবং EF হল ছেদক। ∠3 ও ∠5 এবং ∠4 ও ∠6 এই দুজোড়া কোণকে বলব একান্তর কোণ।

আবার, EF ছেদকের বামপাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল ∠4 ও ∠5।
EF ছেদকের ডানপাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি হল ∠3 ও ∠6।
চাঁদা দিয়ে মেপে দেখছি [তোমরাও আমার সাথে সাথে দেখো],
∠1 = 120˚, ∠2 = 60˚
∠3 = 120˚, ∠4 = 60˚
আবার, ∠5 = 120˚, ∠6 = 60˚
∠7 = 120˚, ∠8 = 60˚
অর্থাৎ ∠1 ও ∠5 অনুরূপ কোণ এবং এদের মান সমান = 120˚
∠2 ও ∠6 অনুরূপ কোণ = 60˚
∠3 ও ∠7 হল অনুরূপ কোণ যাদের মান সমান অর্থাৎ 120˚
∠4 ও ∠8 ও অনুরূপ কোণ ও তাদের মান সমান 60˚

সুতরাং বলা যায়,
[∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6
∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8] চার জোড়া অনুরূপ কোণ

আবার, ∠3 ও ∠5 একান্তর কোণ। এবং তাদের দুজনেরই মান 120˚ অর্থাৎ সমান।
∠4 ও ∠6 তারাও একান্তর কোণ এবং দুজনের মান 60˚ হওয়ায় তারাও সমান।
∴ [∠3 = ∠5; ∠4 = ∠6] দুই জোড়া একান্তর কোণের মান সমান।
তৃতীয় ক্ষেত্রে আমরা দেখছি, ∠4 ও ∠5 হল ছেদকের বামপাশের অন্তঃস্থ কোণ। ∠4 = 60˚, ∠5 = 120˚
যোগফল = ∠4 + ∠5 = 60˚ + 120˚ = 180˚
এবং ∠3 ও ∠5 যাদের মানও 120˚ ও 60˚
তাদের যোগফল = ∠3 + ∠5 = 120˚ + 60˚ = 180˚
∴ [∠3 + ∠5 = 180˚; ∠4 + ∠6 = 180˚] ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180˚

দুটি সরলরেখার সমান্তরাল হবার শর্তসমূহ

• দুটি সরলরেখাকে যদি একটি সরলরেখা ছেদ করে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি যদি 2 সমকোণ বা 180˚ হয় সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে।
• দুটি সরলরেখাকে যদি একটি সরলরেখা ছেদ করে দুই জোড়া একান্তর কোণ উৎপন্ন করে।এবং যদি একান্তর কোণদ্বয় সমান হয় তবে সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে।
• দুটি সরলরেখাকে যদি একটি সরলরেখা ছেদ করে দুই জোড়া অনুরূপ কোণ উৎপন্ন করে।এবং অনুরূপ কোণগুলির মান যদি সমান হয় তবে ঐ সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে।

আরো পড়ো → কি করে বুঝব | Clouds | স্থির তড়িৎ বল ও আধান

চলো এবারে কিছু গাণিতিক সমস্যা ও তার সমাধান দেখে নিই।

প্রথম উদাহরণ

AB ∥ CD হলে নীচের কোণগুলির মান কত হবে?

a) x =? y =? b) x =?
সমাধান
a) চিত্র থেকে আমরা দেখছি AB ও CD সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে এবং EF ছেদক।
∠x এর বিপরীত কোণ 55˚
∴ ∠x = বিপ্রতীপ 55˚
সুতরাং ∠x = 55˚
EF ছেদকটি AB ও CD সরলরেখাকে O এবং P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ EF ছেদকের বামপাশের অন্তঃস্থ কোণ দ্বয় ∠x ও ∠CPO
আমরা জানি, ছেদকের একপাশে অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180˚।
∴ ∠x + ∠CPO = 180˚
বা, ∠CPO = 180˚ – 55˚ [∵ ∠x = 55˚]
= 125˚
চিত্র থেকে দেখছি ∠y এবং ∠CPO বিপরীত কোণ।
∴ ∠y = বিপ্রতীপ ∠CPO
বা, ∠y = 125˚
উত্তর –  নির্ণেয় ∠x = 55˚, ∠y = 125˚।

b) চিত্র থেকে দেখছি AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখা ও EF ছেদক।
EF ছেদকটি AB ও CD সমান্তরাল সরলরেখাকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আবার, আমরা জানি, ছেদকের একপাশে অন্তঃস্থ কোণ দ্বয়ের সমষ্টি 180˚।
AB সরলরেখার উপর ∠BPQ ও ∠APQ সন্নিহিত কোণ।
আমরা জানি, কোনো সরলরেখার উপর অবস্থিত সন্নিহিত কোণ সকলের সমষ্টি হয় 2 সমকোণ বা 180˚।
∴ ∠BPQ + ∠APQ = 180˚
বা, ∠APQ = 180˚ – 100˚ [∵ ∠BPQ = 100˚]
= 80˚
আবার, ছবিতে দেখছি ∠x এবং ∠APQ অনুরূপ কোণ।
∴ ∠x = 80˚
উত্তরঃ নির্ণেয় ∠x = 80˚

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান | ভূগোল

দ্বিতীয় উদাহরণ

নীচের চিত্রে AB ∥ CD, ∠EGB = 50˚,
∠AGE, ∠AGH, ∠BGH, ∠CHF, ∠GHC, ∠GHD, ∠DFC এর পরিমাপ কত?

সমাধান
চিত্রে AB ∥ CD, EF ছেদক। এবং ∠EGB = 50˚
∴ ∠GHD = 50˚ [∵ ∠EGB = অনুরূপ ∠GHD]
AB সরলরেখার উপর ∠EGA ও ∠EGB সন্নিহিত কোণ। উহাদের সমষ্টি 180˚।
∴ ∠EGA + ∠EGB = 180˚
বা, ∠EGA = 180˚ – 50˚ [∵ ∠EGB = 50˚]
বা, ∠EGA = 130˚
সুতরাং, ∠GHC = অনুরূপ ∠EGA
∴ ∠GHC = 130˚
∠BGH ও ∠DHG ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ। তাদের সমষ্টি 180˚।
∴ ∠BGH + ∠DHG = 180˚
বা, ∠BGH + 50˚ = 180˚
বা, ∠BGH = 180˚ – 50˚ = 130˚
আবার, ∠BGH = অনুরূপ ∠DHF
∴ ∠DHF = 130˚
∠CHF = বিপ্রতীপ ∠GHD ∴ ∠CHF = 50˚
চিত্র থেকে, ∠AGH = বিপ্রতীপ ∠EGB
∴ ∠AGH = 50˚

উত্তরঃ  নির্ণেয় ∠AGE = 130˚, ∠AGH = 50˚, ∠GHD = 50˚, ∠BGH = 130˚, ∠GHC = 130˚, ∠CHF = 50˚, ∠DHF = 130˚

পর্ব সমাপ্ত। পরবর্তী পর্ব → ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক

এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্য ভাবে কোন মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।

এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করতে ভুলো না।

JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাবার জন্য –

• সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
• লাইক করো – facebook পেজ
• সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
• Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা

8-M-8