ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্কের যাচাই

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্কের যাচাই

আগের পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সরলীকরণ সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা ত্রিভুজের কোণ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্কের যাচাই সম্পর্কে আলোচনা করবো।

আমরা সকলেই জানি, ত্রিভুজ তিন বাহুর সমন্বয়ে গঠিত।

ABC ত্রিভুজটি তিনটি বাহু AB, BC ও CA এর সমন্বয়ে গঠিত। যার তিনটি শীর্ষবিন্দু A, B ও C এবং তিনটি কোণ ∠ABC, ∠BCA এবং ∠CAB।

এই তিনটি কোণ ত্রিভুজের ভিতরের দিকে অবস্থিত। তাই এই কোণ তিনটিকে আমরা অন্তঃস্থ কোণ বলব।

আবার যদি কোনো একটি বাহুকে বাইরের দিকে বর্ধিত করে দিই তবে বাইরের দিকে একটি কোণ তৈরি হবে।

∠ACD কোণটি ত্রিভুজের বাইরের দিকে অবস্থিত হওয়ায় এই কোণটিকে বহিঃস্থ কোণ বলা হয়।

আমরা এবার চাঁদার সাহায্যে প্রত্যেকটি কোণকে মেপে নেব।
মেপে দেখছি, ∠ABC = 60˚
∠BAC = 65˚
∴ ∠ACB = 55˚
এবং ∠ACD = 125˚

আবার আমরা দেখছি যে দুটি অন্তঃস্থ কোণদ্বয় যোগ করে হয় ∠ABC + ∠BAC = 60˚ + 65˚ = 125˚
যা বহিঃস্থ কোণ ∠ACD এর সমান।
অর্থাৎ আমরা পেলাম, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফলের সমান।

যুক্তি দিয়ে প্রমাণ কর, ত্রিভুজের কোন একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় সেটির পরিমাপ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফলের সমান।

প্রদত্ত- ∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। ফলে ∠ACD বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় এবং অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটি হল ∠ABC ও ∠BAC।
প্রমাণ করতে হবে- ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
অঙ্কন- C বিন্দু দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা CP আঁকলাম।
প্রমাণ- AB ∥ CP, AC ছেদক
∠BAC = একান্তর ∠ACP —(1)
আবার, AB ∥ CP, BD ছেদক
∠ABC = একান্তর ∠PCD —(2)
(1) ও (2) যোগ করে পাই,
∠ABC + ∠BAC = ∠ACP + ∠PCD
= ∠ACD (প্রমাণিত)
সুতরাং আমরা ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ তিনটির মধ্যে সম্পর্ক খোঁজার চেষ্টা করি।
দেখছি, ∠ABC = 60˚, ∠ACB = 55˚ এবং ∠BAC = 65˚
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 60˚ + 55˚ + 65˚ = 180˚

যুক্তি দিয়ে প্রমাণ কর, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180˚।

প্রদত্ত- ∆ABC একটি যেকোন ত্রিভুজ।
প্রামাণ্য- প্রমাণ করতে হবে ∆ABC এর তিনটি কোণের পরিমাণ 180˚
অর্থাৎ ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180˚
অঙ্কন- BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণ- ∆ABC এর,
∠ACD = ∠ABC + ∠BAC [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
বা, ∠ACD + ∠ACB = ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB (উভয়দিকে যোগ করে)
∴ ∠ACD + ∠ACB = 180˚
∴ ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180˚
∴ ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180˚ বা দুই সমকোণ

গাণিতিক উদাহরণ

x এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান- ছবিতে দেখছি, PQ বাহু ও ST বাহু সমান্তরাল। অর্থাৎ PQ ∥ ST এবং TQ ছেদক।
∴ ∠PQT = একান্তর ∠QTS
যেহেতু ∠PQT = 55˚
∴ ∠QTS = 55˚
∆TRS এর, ∠RTS = 55˚, ∠RST = 55˚
∴ ∠TRS = 180˚ – (55˚ + 60˚)
= 180˚ – 115˚
= 65˚
উত্তর- নির্ণেয় x এর মান 65˚।

2) ∆ABC এর ∠ABC ও ∠ACB এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ কর ∠BOC = 30˚ + $\frac{1}{2}$ ∠BAC

প্রদত্ত- ∆ABC এর ∠ABC ও ∠ACB
এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে- ∠BOC = 30˚ + $\frac{1}{2}$ ∠BAC
প্রমাণ- ∆ABC এর, ∠OBC = $\frac{1}{2}$ ∠ABC এবং ∠OCB = $\frac{1}{2}$ ∠ACB
∆ABC এর,
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180˚ —(1)
∆OBC থেকে পাই,
∠OBC + ∠BOC + ∠OCB = 180˚ —(2)
বা, $\frac{1}{2}$ ∠ABC + ∠BOC + $\frac{1}{2}$ ∠ACB = 180˚

অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

বা, ∠BOC + $\frac{1}{2}$ (∠ABC + ∠ACB) = 180˚
বা, ∠BOC + $\frac{1}{2}$ [180˚ – ∠BAC] = 180˚
বা, $\angle BOC + \frac{180\circ}{2}-\frac{\angle BAC}{2}= 180\circ$
বা, $\angle BOC + 90\circ - \frac{\angle BAC}{2} = 180\circ$
বা, ∠BOC = 180˚ – 90˚ + $\frac{1}{2}$ ∠BAC
= (90˚ + $\frac{1}{2}$ ∠BAC) (প্রমাণিত)

আমরা একটি ত্রিভুজ আঁকলাম যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য অসমান।

চাঁদা দিয়ে প্রতিটি কোণকে মেপে দেখলাম
∠ABC = 60˚ ∠ACB = 30˚ ∠BAC = 90˚
অর্থাৎ ∠ABC হল AC বাহুর বিপরীত কোণ
∠ACB হল AB বাহুর বিপরীত কোণ
এবং ∠BAC হল BC বাহুর বিপরীত কোণ
AB বাহুর দৈর্ঘ্য সবথেকে ছোট তাই এর বিপরীত কোণের পরিমাণ সবচেয়ে কম।
AC বাহুর দৈর্ঘ্য AB বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বেশি তাই AC বাহুর বিপরীত কোণ ∠ABC এর মান ∠ACB এর চেয়ে বেশি।
এবং BC বাহুর দৈর্ঘ্য সবচেয়ে বেশি হওয়ায় এর বিপরীত কোণের মান সবচেয়ে বেশি।
আবার বিপরীত দিক থেকে ভাবলে,
∠BAC এর মান 90˚, ∠ABC এর মান 60˚ এবং ∠ACB এর মান 30˚
সুতরাং ∠BAC এর বিপরীত বাহু > ∠ABC এর বিপরীত বাহু > ∠ACB এর বিপরীত বাহু
অর্থাৎ BC > AC > AB

3) ABC ত্রিভুজে AB > AC ; ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। AB বাহু থেকে AC এর দৈর্ঘ্য সমান করে AE সরলরেখাংশ কেটে নিলাম। D, E যুক্ত করলাম।
প্রমাণ কর, i) ∆ACD ≅ ∆AED ii) ∠ACB > ∠ABC

প্রদত্ত- ∆ABC এর AB > AC
∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
AE = AC
প্রমাণ করতে হবে- i) ∆ACD ≅ ∆AED
ii) ∠ACB > ∠ABC
প্রমাণ- ∆AED ও ∆ACD এর,
∴ AE = AC
∠DAC = ∠DAC [AD, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক]
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆AED ≅ ∆ACD [(i) প্রমাণিত]
∴ ∠AED = ∠ACD (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ) —(1)
∆BED এর, ∠AED = ∠BDE + ∠EBD
বা, ∠ACD = ∠BDE + ∠EBD [(1) নং থেকে পাই]
বা, ∠ACB = ∠BDE + ∠ABC [∠ABC = ∠EBD; ∠ACB = ∠ACD
∴ ∠ACB > ∠ABC [(ii) প্রমাণিত]
সমাপ্ত