goniter-jadu-2
Article (প্রবন্ধ)

গণিতের জাদু – বিভাজ্যতা (দ্বিতীয় পর্ব)



এই প্রবন্ধটি গণিতের জাদু সিরিজের দ্বিতীয় পর্ব। প্রথম পর্বে 0, 1, 2 এবং 3 এর বীজগাণিতিক নিয়মে বিভাজ্যতার ব্যাখ্যা বিস্তারিত আলোচনা হয়েছে। যদি  প্রথম পর্ব আপানার পড়া না থাকে, সেক্ষেত্রে আমরা অনুরোধ করবো এই লিঙ্কে ক্লিক করে প্রথম পর্বটি পড়ে নেবার।

4 দ্বারা ভাগ

এটা আমরা মোটামুটি সবাই জানি। সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক যদি 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন আগের উদাহরণে 362880 এর শেষ দুটি অঙ্ক 80।

স্পষ্টতই 80কে 4 দিয়ে ভাগ করলে 20 ভাগফল আসে ও শূন্য ভাগশেষ। কিন্তু কেন শেষ দুটি সংখ্যা? শেষ সংখ্যা নয় কেন? এর উত্তর অনেক ভাবে দেওয়া যায়।

ক. 4 এর নামতা পড়ার সময় আমরা একটি করে জোড় সংখ্যা লাফিয়ে লাফিয়ে যাই। 4, 8, 12, 16, 20…. ইত্যাদি। এতে 2, 6, 10, 14, 18… প্রভৃতি বাদ পড়ে যায়। খালি শেষ সংখ্যা দেখলে 4 এর গুণিতক এর শেষেও যে যে সংখ্যা বর্তমান, যে জোড়গুলো 4 এর গুণিতক নয়, তার শেষেও একই সংখ্যা। শুধু শেষ সংখ্যা দেখলে সঠিক সিদ্ধান্তে পৌছাতাম না।

খ. যেকোনো সংখ্যা, ধরি abc কে লেখা যায়, 100 a+bc। এখন 100a বরাবর 4 দ্বারা বিভাজ্য। 100 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে 25 পাওয়া যায়। তাই 100a কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ও 25 এর গুণিতক একটি পূর্ণ সংখ্যা আসবে। তাই খালি bc কে 4 দিয়ে ভাগ করে দেখতে হবে সেটি বিভাজ্য কিনা। তবেই 100a+bc 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে অর্থাৎ abc 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

যেমন 362880 =  362800+80 = 3628 × 100 + 80।

এখানে 3628 বা যা কিছুই হোক না কেন, 3628 × 100, 4 দ্বারা বিভাজ্য। আবার 80 ও 4 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং 362880, 4 দ্বারা বিভাজ্য।

বীজগণিতের সাহায্যে বললে abc = 100a+10b+c।

এখন আগেই আমি দেখিয়েছি যে 100a, 4 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং আমাদের খালি দেখতে হবে 10b+c, 4 দ্বারা বিভাজ্য কিনা। স্পষ্টতই 10, 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়, কিন্তু 2 দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং 10b+cকে 4 দ্বারা বিভাজ্য হতে গেলে দুটি অবস্থা তৈরী হয়।

এক, b একটি জোড় সংখ্যা, তবেই 10b, 4 দ্বারা বিভাজ্য হলো। তাহলে c কে 0, 4 বা 8 হলেই চলবে। যেমন 24, 40, 68, 86, 48।

দুই, b একটি বিজোড় সংখ্যা, সুতরাং 10b, 4 এর গুণিতক না। সেক্ষেত্রে c 2 বা 6 হলেই হবে। 16, 32, 56, 92, 76।



গ. এতো জটিলতার মধ্যে না গিয়ে খুব সহজে আমরা bc কে 4 এর গুণিতক কিনা দেখে নিতে পারি। b কে 2 দিয়ে গুণ করে c এর সাথে যোগ করলে যদি যোগফল (2b+c) 4 এর গুণিতক হয় তবেই bc 4 এর গুণিতক। আর না হলে 4 এর গুণিতক নয়, পরীক্ষা করে দেখি।

54 এ b = 5 ও c = 4।

অতএব 2b+c = 5×2+4 = 14।

এটি 4 এর গুণিতক নয়। সুতরাং 54, 4 এর গুণিতক না। অতএব 2354, 967054, এরা কেউই 4 এর গুণিতক নয়।

এখন প্রশ্ন এটা এত সহজে হলো কি করে?

খুব সোজা! abc = 100a+10b+c = (100a+8b)+(2b+c) = 4(25a+2b) + (2b+c)।

দেখেই বোঝা যাচ্ছে 4(25a+2b) 4 এর গুণিতক। সুতরাং খালি দেখে নাও 2b+c, 4 এর গুণিতক কিনা!

JUMP whats-app subscrition

৫ দ্বারা ভাগ

এটাও খুব সোজা, অনেকটা দুয়ের মতো।

যেকোনো সংখ্যা থেকে এক এক করে সংখ্যা নিয়ে 5 টি আলাদা জায়গায় রাখা হল। ধরা যাক পাত্র ক, চ, ট, ত, ও প।

ক থেকে শুরু করে প অবধি চললেন পরপর। যদি প ছাড়া অন্য কোথাও শেষ করেন, তবে সংখ্যাটি 5 এর গুণিতক ছিল না, প তে শেষ করলে সংখ্যাটি 5 এর গুণিতক।

ধরুন ১৪। এক এক করে সংখ্যা নিয়ে ক, চ, ট, ত, ও প তে রাখুন। ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত।

শেষ তো? তার মানে 14, 5 এর গুণিতক নয়। খেয়াল করে দেখুন এখানে 2 বার প আছে, আর শেষ প এর পর চারটে মাত্র পাত্র ভরেছেন। সুতরাং এর ভাগফল 2 ও ভাগশেষ 4।

কিন্তু ধরুন 35।

এক এক করে সংখ্যা নিয়ে ক, চ, ট, ত, ও প তে রাখুন। ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প, ক, চ, ট, ত, প। কিসে শেষ হলো?

প তে তো? তাহলে 35, 5 এর গুণিতক। খেয়াল করে দেখুন এখানে 7 বার প আছে, আর শেষ প এর পর শূন্যটা মাত্র পাত্র ভরেছেন। সুতরাং এর ভাগফল 7 ও ভাগশেষ ০।

আরেকটি নিয়ম আছে। শেষ অঙ্ক নিয়ম। শেষ অঙ্ক ৫ বা শূন্য হলে সংখ্যাটি ৫ এর গুণিতক।

এর বীজগাণিতিক ব্যখা হল – যদি সংখ্যাটি abc হয় তবে স্থানের নিয়মানুসারে abc = 100a +10b + c = 10x 10a +10b + c হিসেবে লেখা যেতে পারে। এখন 10, 5 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং 100a +10b, 5 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং c = 5 বা 0 হলে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য হবে, নচেৎ হবে না।

যেমন 362880 = 3 x 100000 + 6 x ১0000 + 2 x 10000 +8 x ১00 +8 x 10 +0। একে 5 দিয়ে ভাগ করলে আলাদা আলাদা ভাবে 10 ও 0 পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ 362880, 5 দ্বারা বিভাজ্য।


আমাদের ফেসবুক পেজ লাইক করার অনুরোধ রইল! 🙂


6 দ্বারা ভাগ

কোনো সংখ্যা 6 এর গুণিতক মানে 6 = 3 x 2 এর গুণিতক। মানে একই সাথে 3 এর গুণিতক ও 2 এর ও গুণিতক। অর্থাৎ কোনো জোড় সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল 3 এর গুণিতক হলেই সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন 362880 একটি যুগ্ম সংখ্যা, এর শেষ অঙ্ক 0।

আবার অঙ্কগুলির যোগফল 27 যেটি 3 এর 9 গুণিতক। সুতরাং 362880 একটি 3 এর গুণিতক। সুতরাং 362880 সংখ্যাটি 6 এর গুণিতক।

বীজগাণিতিক ভাবে বললে abc= 100a +10b + c = 100a + 10b + 2m যেখানে 2m= c যেহেতু 6 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে c একটি জোড় সংখ্যা হওয়া প্রয়োজন। এখন 100a + 10b + 2m = 2 x (50a + 5b + m) = 99a + 9b + (a + b + 2m) লেখা যেতে পারে। তো প্রথম ক্ষেত্র থেকে বলতে পারি সংখ্যাটি 2 এর গুণিতক। এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্র থেকে বলতে পারি সংখ্যাটি 3 এর গুণিতক যদি (a + b + 2m) 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

যেমন 324। একে লেখা যেতে পারে 3×100 + 2×10 + 4 = 2x(3×50 + 2×5 + 2) = 3×99 + 2×9 + (3+2+4) = 3×99 + 2×9 + 9 = 3x(3×33 + 2×3 + 3) হিসেবে। যেহেতু সংখ্যাটি ২ এর গুণিতক হিসেবেও লেখা গেলো আবার  এর গুণিতক হিসেবেও সুতরাং সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য। সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক 4 হওয়ার ফলে সংখ্যাটি জোড়। সুতরাং সংখ্যাটি 2এর গুণিতক। আবার সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল 9, সুতরাং 3 এর গুণিতক, এখান থেকে দেখেও বোঝা যাচ্ছিল। সুতরাং এভাবেও দেখে বলা যে সংখ্যাটি 6 এর গুণিতক।


আরো পড়ুন


দ্বিতীয় পর্ব সমাপ্ত।

এই লেখাটি মনোগ্রাহী হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

lekha-pora-shona-facebook-group

Leave a Reply