Shonku -6
Madhyamik

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু


কখনো ভেবে দেখেছ, একটি কর্নেটো (Cornetto) আইসক্রিমে কতটা পরিমাণ আইসক্রিম থাকে? এই কর্নেটো আইসক্রিম হল শঙ্কুর একটা আদর্শ উদাহরন। শুধু কর্নেটো আইসক্রিম নয়; জন্মদিনের টুপি, আইসক্রিমের কোণ, ইত্যাদি হল শঙ্কুর আদর্শ উদারহরণ। এমনকি তেল ঢালার জন্য যে ফানেল ব্যবহার করা হয় তা শঙ্কুর উদাহরণ।

আচ্ছা, শঙ্কুকে অনেকটা ত্রিভুজের মত দেখতে লাগে, তাই না?

Shonku -1

ঠিক তাই, এমনকি ত্রিভুজের ধারণা ব্যবহার করেই, শঙ্কুর গানিতিক মাপ বের করা হয়। তাহলে এসো চিনে নিই ‘শঙ্কুকে’, বুঝে নি শঙ্কুর আয়তন ও তলের ক্ষেত্রফলকে।

শঙ্কুর জ্যামিতিক ধারণা

জ্যামিতিতে, ‘Cone’ শব্দটি বোঝায় পিরামিড-এর মত আকার যার বৃত্তাকার ভুমি বর্তমান। এটি একটি ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক আকার। মাথার দিকে অর্থাৎ শীর্ষে থাকে শীর্ষ বিন্দু ও নিচে থাকে বৃত্তাকার তল।

শীর্ষবিন্দু থেকে বৃত্তাকার তলের কেন্দ্রের দূরত্ব হল শঙ্কুর উচ্চতা এবং শীর্ষ থেকে বৃত্তাকার তলের পরিধির ওপর যেকোন দৈর্ঘ্য হল তির্যক উচ্চতা।

Shonku -7

আমরা আজ জানবো শুধু লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু-র কথা কারন, এখানে যে শঙ্কুর কথা পড়ব তার উচ্চতা বৃত্তাকার তলের ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব তৈরি করে।

তলের ক্ষেত্রফল [পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল + সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল]

তলের ক্ষেত্রফল বোঝার জন্য চল একটি মজার activity করি। একটি কাগজের শঙ্কু নিয়ে তার ধার ধরে কেটে নেওয়া হল। এরফলে একটি নির্দিষ্ট আকারের কাগজ পাওয়া গেল,  যা শঙ্কুর তল তৈরি করেছে নিম্নরূপ।

Shonku -3

প্রাপ্ত বৃত্তকে কয়েকটি ত্রিভুজে ভাগ করা হল। আমরা ধরে নিয়েছি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতাl  অর্থাৎ প্রতিটি প্রাপ্ত ত্রিভুজেগুলির উচ্চতা l (ইংরাজি অক্ষর l) ।

Shonku -4

ধরি ত্রিভুজগুলির ভুমি যথাক্রমে b1, b2, b3, b4 … হলে ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = \frac{1}{2}\times b_{1}\times l + \frac{1}{2}\times b_{2}\times l+ \frac{1}{2}\times b_{3}\times l+ \frac{1}{2}\times b_{4}\times l+\cdots

= \frac{1}{2}\times \left ( b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}\cdots \right )\times l

= \frac{1}{2}\times 2\pi r\times l

= \pi r\times l

সুতরাং, শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল হল  \pi r\times l বর্গএকক।

এখন, শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ভূমিতলের ক্ষেত্রফল

\pi r\times l + বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফল

= \pi r\times l + \pi r^{2}

= \pi r \left ( l+r \right ) বর্গএকক

subscribe-jump-magazine-india

শঙ্কুর আয়তন

আমরা লম্ববৃত্তাকার চোঙের আলোচনার সময়ে চোঙের আয়তন নির্ণয় করার উপায় বিস্তারিত জেনেছি।

Shonku -5

এবার লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আকৃতি অনুসারে দেখা যায় সেটির আয়তন একটি চোঙের আয়তনের এক তৃতীয়াংশে অর্থাৎ শঙ্কুর আয়তন হল = \frac{1}{3}\pi r^{2}h

[যেখানে r হল ভুমিতলের ব্যাসার্ধ এবং h হল উচ্চতা।]

তির্যক উচ্চতা নির্ণয় (slant height)

আর l হল তির্যক উচ্চতা। আমরা যদি ভালো ভাবে লক্ষ্য করি; তাহলে দেখবো যে শঙ্কুর দুটি বাহু একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ তৈরি করেছে এবং উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ্যের সাপেক্ষে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পিথাগোরাসের সুত্র অনুযায়ী অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভুমি2

এই ক্ষেত্রে অতিভুজ হল তির্যক উচ্চতা।

সুতরাং l2 = r2 + h2

আর, l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}

MMT_Jump

এবার আমরা একটি উদাহরণ কষে দেখি।

যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 1.5 মি। ও তির্যক উচ্চতা 2 মিটার হলে তার পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

ধরি, ভুমিতলের ব্যাসার্ধ r = 1.5 মিটার

তির্যক উচ্চতা l = 2 মি

আমরা জানি পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \pi r\times l

= \frac{22}{7}\times 1.5\times 2

= \frac{22}{7}\times 3

= \frac{66}{7}

= 9 \frac{3}{7} বর্গ মিটার

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \pi r \left ( l+r \right )

= \frac{22}{7}\times 1.5 \times (1.5 + 2)

= \frac{165}{14}

= 11\frac{11}{14} বর্গ মিটার

এই পর্বটি সমাপ্ত হল। পরবর্তী পর্বে কিছু গানিতিক সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হবে।


অন্যান্য বিভাগগুলি পড়ুন

দশম শ্রেণি – ভৌতবিজ্ঞান

দশম শ্রেণি – বাংলা

দশম শ্রেণি – গণিত

দশম শ্রেণি – জীবন বিজ্ঞান


এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করতে ভুলো না।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।

lekha-pora-shona-facebook-group

Aditi Sarkar
রাজাবাজার সায়েন্স কলেজের ফলিত গণিতের (MSc in Applied Mathematics) প্রাক্তন ছাত্রী অদিতি সরকারের গণিতের সাথে সম্পর্ক চিরকালীন। পড়াশোনার পাশাপাশি গান শুনতে ও ছবি আঁকতে ভালোবাসেন অদিতি।

Leave a Reply