britto-somporkito-upopadyo-ganitik-udahoron
Madhyamik

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যের গাণিতিক উদাহরণ

গণিতদশম শ্রেণি – বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য


গত পর্বে বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য সম্পর্কে আলোচনা করেছি, এই পর্বে আমরা এই অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক উদাহরণ বুঝে নেব।

1. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ এর দূরত্ব 2.1 সেমি। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান- O বিন্দু থেকে PQ জ্যা এর দূরত্ব 2.1 সেমি।
বৃত্তের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি। S হল PQ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, PS=\frac{1}{2}\times{PQ}=\frac{1}{2}\times 4=2 সেমি।
△POS থেকে পাই,
OP^2=OS^2+PS^2
বা, OP^2=(2.1)^2+(2)^2
বা, OP^2=4.41+4
বা, OP^2=8.41
বা, OP=2.9
সুতরাং, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.9 সেমি।
উত্তরঃ ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.9\times2=5.8 সেমি।


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলিগণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-র দূরত্ব কত?

সমাধান- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের মান 5 সেমি।
OB ব্যাসার্ধ = 5 সেমি।
AB জ্যা= 8 সেমি।
D হল AB এর মধ্যবিন্দু
সুতরাং, BD=\frac{1}{2}\times AB=\frac{1}{2}\times8=4 সেমি।
OD হল কেন্দ্র ও জ্যা এর মধ্যে দূরত্ব △ODB থেকে পাই, পিথাগোরাসের সুত্র অনুযায়ী
অতিভুজ2= লম্ব2+ভুমি2
OB^2=OD^2+BD^2
বা, 5^2=OD^2+4^2
বা, OD^2=5^2-4^2
বা, OD^2=25-16
বা, OD^2=9
বা, OD=\sqrt{9}
বা, OD=3
উত্তরঃ কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যে দূরত্ব হল 3 সেমি।

3. একটি সরলরেখা দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ কর AC=DB.

সমাধান- ধরি, দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O
এবং CD সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ও অপরবৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কন- কেন্দ্র O থেকে CD সরলরেখার উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ- ক্ষুদ্রতম বৃত্তের ক্ষেত্রে AB জ্যা OP ⊥ AB
P হল AB এর মধ্যবিন্দু AP = PB ………….(i)
বৃহত্তম বৃত্তের ক্ষেত্রে CD জ্যা, OP⊥ CD
সুতরাং, CP = PD [ P হল CD এর মধ্যবিন্দু ] …………(ii)
(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই
CP – AP = PD – PB
বা, AC = DB [প্রমাণিত]

4. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ কর যে, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

প্রদত্ত- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান
প্রমাণ করতে হবে, ∠BAC এর অন্তর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী।
অঙ্কন- A, O; O, B; ও O, C যুক্ত করা হল
প্রমাণ- AO হল O বিন্দুগামী সরলরেখা।
এখন AO, ∠BAC কোণের সমদ্বিখণ্ডক প্রমাণ করলে বলা যাবে ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
∆AOB এবং ∆AOC থেকে পাই
i) AB = AC [প্রদত্ত]
ii) OA সাধারণ বাহু
iii) OC = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
সুতরাং, ∆AOB ≅ ∆AOC [সর্বসম ত্রিভুজ S-S-S শর্তে]
∠BAO = ∠CAO [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ কোণ]
অর্থাৎ, AO হল ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠BAC এর অন্তর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী। [প্রমাণিত]


দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | English | ইতিহাস | ভূগোল

সমাপ্ত।


এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্য ভাবে কোন মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।


এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।



JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাবার জন্য –

X_M_3b