দ্বিঘাত করণী

শ্রেণি – দশম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়:দ্বিঘাত করণী (প্রথম পর্ব)

দ্বিঘাত করণী ভাল করে শিখতে, সংখ্যাতত্ত্বের দুটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা কি আমাদের তা জেনে নিতে হবে।

আমরা যদিও এই মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা সম্পর্কে নবম শ্রেণিতে বিস্তারিত পড়েছি। তবুও, এই অধ্যায় ভালো করে বোঝার জন্য আর একবার ব্যাপারগুলি জেনে নেবো।

মূলদ সংখ্যা

কোনো সংখ্যাকে যদি $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p,q$ পূর্ণসংখ্যা ও $q\neq0$ । তবে সেই সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণঃ– 5, -7, $\frac{2}{3}$ , $\frac{-5}{8}$ , $\sqrt{4}$ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা

যে সব সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যার আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাদের অমূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণঃ $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $\sqrt[3]{100}$ ইত্যাদি। অমূলদ সংখ্যার সুনির্দিষ্ট কোনো দশমিকের মান নির্ণয় করা যায়না।

তাহলে বলতো $\sqrt{3}$ , $\sqrt{4}$ , 0.125 এই 3টি সংখ্যার মধ্যে কোনটি মূলদ, কোনটি অমূলদ?

আমরা ভালো ভাবে লক্ষ্য করলে দেখবো, $\sqrt{3}=1.73205$ …, অর্থাৎ $\sqrt{3}$ কে কখনই দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে বা $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়না ও $\sqrt{3}$ এর সুনির্দিষ্ট কোন দশমিক মান নির্ণয় করা যায়না। তাহলে $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

কিন্তু $\sqrt{4}=2$ , এটি পূর্ণসংখ্যা ও $\sqrt{4}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে $(\sqrt{4}=2=\frac{2}{1})$ প্রকাশ করা যায়। তাই $\sqrt{4}$ মূলদ সংখ্যা। আবার, $0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$

$\therefore$ 0.125 কে আমরা দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করতে পারি। তাই 0.125 একটি মূলদ সংখ্যা।

বর্গ ও বর্গমূল

কোনো একটি অঋনাত্বক বাস্তব সংখ্যা $x$ হলে $x$ এর বর্গমূল= $\pm \sqrt{x}=\pm x^\frac{1}{2}$ । কারণ, $(+\sqrt{x})^2$ = $(x^{\frac{1}{2}})^2=x$ এবং, $(-\sqrt{x})^2$ = $(-\sqrt{x})(-\sqrt{x})=x$ ।

কিন্তু, $\sqrt{x^{2}}=\mid x\mid$ , অর্থাৎ $\sqrt{x^{2}}$ বললে আমরা $x$ এর ধনাত্মক মানটি নেব।

উদাহরণঃ 4 এর বর্গমূল $\pm\sqrt{4}=+2,-2$ [ $\because$ $(+2)^{2}=4$ ও $(-2)^{2}=4$ ]
$\sqrt{4}=\sqrt{2^{2}}=\mid 2 \mid=2$

$\sqrt{4}=\sqrt{(-2)^{2}}=\mid -2 \mid=2$

$\therefore$ $\sqrt{4}=2$ [ $\sqrt{4}$ বলতে আমরা (+2) গ্রহণ করব]

একই ভাবে, 9 এর বর্গমূল= $\pm\sqrt{9}=\pm3$

0 এর বর্গমূল= $\pm\sqrt{0}=0$

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবনবিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান |

ঘন ও ঘনমূল

কোনো একটি সংখ্যা $x$ হলে, $x$ এর ঘন $=x^{3}$ , $x$ এর ঘনমূল $= \sqrt[3]{x}$ যেমন, 3 এর ঘন $3^{3}=3\times3\times3=27$

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^{3}}=(3^{3})^{\frac{1}{3}}=3$

একই ভাবে, $3^{4}=81$ , $\therefore$ $\sqrt[4]{81}=(81)^{\frac{1}{4}}=(3^{4})^{\frac{1}{4}}=3$ (চতুর্থমূল )

$3^{5}=243$ , $\sqrt[5]{243}=(243)^{\frac{1}{5}}=(3^{5})^{\frac{1}{5}}=3$ (পঞ্চমমূল)

একটা বিশেষ ব্যাপার লক্ষ্যনীয়। বর্গমূল চিহ্নটির ক্ষেত্রে সাধারণত আমরা ‘ $\sqrt{}$ ’ চিহ্নটি ব্যবহার করি, ‘ $\sqrt[2]{}$ ’ ব্যবহার করিনা।

কিন্তু ঘনমূলে ‘ $\sqrt[3]{}$ ’ চিহ্ন দিয়ে, চতুর্থমূলে ‘ $\sqrt[4]{}$ ’ চিহ্ন দিয়ে, পঞ্চমমূলে ‘ $\sqrt[5]{}$ ’ চিহ্ন দিয়ে বোঝানো হয়।

আমরা এখানে যে সংখ্যাগুলি দেখলাম অর্থাৎ, $\sqrt{4}$ , $\sqrt{9}$ , $\sqrt[3]{27}$ , $\sqrt[4]{81}$ , $\sqrt[5]{243}$ এই সংখ্যাগুলির আমরা নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করতে পেরেছি।

এই মূলগুলি প্রত্যেকেই মূলদ সংখ্যা। কিন্তু $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt[4]{30}$ , $\sqrt[5]{40}$ , $\sqrt[3]{5}$ ইত্যাদি অনেক সংখ্যার নির্দিষ্ট মূলগুলির মান পূর্ণসংখ্যা বা দশমিক সংখ্যায় নির্ণয় করতে পারিনা। তাই এই সংখ্যাগুলিকে আমরা করণী বলব।

করণী

কোনো ধনাত্মক সংখ্যার কোনো মূলকে মূলদ সংখ্যার আকারে প্রকাশ করা না গেলে, মূলটিকে করণী বলে।

যেমনঃ $\sqrt{2}$ , $\sqrt[3]{5}$ , $\sqrt[4]{6}$ , $\sqrt{10}$ ইত্যাদি।

কিন্তু, $\sqrt{4}$ , $\sqrt[3]{125}$ , $\sqrt[4]{16}$ ইত্যাদি সংখ্যাগুলি করণীর মত দেখতে মনে হলেও, এরা করণী নয়। কারণ এই সংখ্যাগুলির নির্দিষ্ট মান আছে, এরা মূলদ সংখ্যা।