শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক
ছোটবেলায় আমরা জ্যামিতির পাঠ থেকে বিভিন্ন জ্যামিতিক বিষয়ের ধারণা পেয়েছিলাম।
যেমন- বিন্দু
দুটি বিন্দুকে যোগ করে আমরা একটি সরলরেখা পাওয়া যায় তাও জেনেছিলাম। অর্থাৎ
A (.) একটি বিন্দু ও B (.) একটি বিন্দু । দুটি বিন্দুকে যোগ করে আমরা AB সরলরেখা পেয়েছি।
আবার আমরা এটাও জেনেছি তিনটি সরলরেখা দিয়ে তৈরি হয় একটি ত্রিভুজ।
ABC ত্রিভুজটি তৈরি হয়েছে AB, BC ও CA তিনটি সরলরেখা বা তিনটি বাহু বা তিনটি ভুজ দিয়ে।
ত্রিভুজ কাকে বলে
ত্রি বা তিনটি ভুজের সমাহার কেই ত্রিভুজ বলে। তিনটি বাহু, তিনটি শীর্ষবিন্দু ও তিনটি কোণ দিয়ে তৈরি হয় ত্রিভুজ। এবং ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180˚ হয়।
কোণভেদে ত্রিভুজ তিনপ্রকার হয়।
i) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
ii) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
iii) সমকোণী ত্রিভুজ
1) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90˚ অপেক্ষা কম সেই ত্রিভুজকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।
2) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90˚ অপেক্ষা বেশি সেই ত্রিভুজকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।
3) সমকোণী ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90˚ তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
বাহুভেদে ত্রিভুজ তিনপ্রকার হয়।
i) সমবাহু ত্রিভুজ
ii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
iii) বিষমবাহু ত্রিভুজ
i) সমবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয় সেই ত্রিভুজকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
ii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয় সেই ত্রিভুজকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
iii) বিষমবাহু ত্রিভুজ
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য অসমান হয় সেই ত্রিভুজকে আমরা বিষমবাহু ত্রিভুজ বলি।
যেহেতু এই অধ্যায় ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণ সংক্রান্ত, তাই আমরা বাহুভেদে ত্রিভুজের প্রকারের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে দেখছি যে এই ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়।
এই ∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB বাহু ও AC বাহুর দৈর্ঘ্য সমান অর্থাৎ 7 সেমি এবং BC বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
চাঁদা দিয়ে মেপে দেখছি যে, AB বাহুর বিপরীত কোণ অর্থাৎ ∠ACB এর মান 65˚ এবং AC বাহুর বিপরীত কোণ ∠ABC র মানও 65˚।
∴ ∠ABC = ∠ACB = 65˚
আবার উল্টো দিক দিয়ে যদি ভাবি,
∆MNO একটি ত্রিভুজ। যার দুটি কোণের পরিমাণ 60˚ অর্থাৎ ∠MNO = 60˚ এবং ∠MON = 60˚ । স্কেলের সাহায্যে মেপে দেখি যে, ∠MNO এর বিপরীত বাহু অর্থাৎ MO এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং ∠MON এর বিপরীত বাহু MN = 5 সেমি।
আমরা হাতে কলমে যা পেলাম তা এবার যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করে দেখি।
প্রমাণঃ কোন ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে তাদের বিপরীত কোণগুলির পরিমাণ সমান হবে।
প্রদত্ত: ∆ABC এর AB = AC
প্রমাণ করতে হবে:- ∠ACB = ∠ABC
(AB ও AC বাহুর বিপরীত কোণ ∠ACB ও ∠ABC)
অঙ্কন: ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক AD অঙ্কন করলাম যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: ∆ABD ও ∆ACD এর,
AB = AC (প্রদত্ত)
∠BAD = ∠CAD [∵ AD হল ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক]
AD = AD (সাধারণ বাহু)
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [SAS সর্বসমতা]
∴ ∠ABD = ∠ACD (অনুরুপ কোণ)
∴ ∠ABC = ∠ACB বা, ∠ACB = ∠ABC (প্রমানিত)
এটি কিন্তু বিপরীত দিক দিয়েও যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করা যাবে।
প্রমাণ: কোন ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ সমান হলে বিপরীত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হবে।
প্রদত্ত: ∆ABC এর ∠ABC = ∠ACB
প্রমাণ করতে হবে: AB = BC
(∠ACB ও ∠ABC এর বিপরীত বাহু AB ও AC)
অঙ্কন: ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক AD অঙ্কন করলাম যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: ∆ABD ও ∆ACD এর,
∠BAD = ∠CAD [∵ AD হল ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক]
∠ABC = ∠ACB (প্রদত্ত)
AD সাধারণ বাহু
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [A-A-S সর্বসমতা]
∴ AB = AC (অনুরুপ বাহু) (প্রমানিত)
সুতরাং, আমরা শিখলাম ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে তার বিপরীত কোণ দুটির দৈর্ঘ্যও সমান হয়। আবার, ত্রিভুজের দুটি কোণের দৈর্ঘ্য সমান হলে বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যও সমান হয়।
অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগ – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান
এবার আমরা কিছু গাণিতিক সমস্যা দেখে নেব।
প্রথম উদাহরণঃ AB = AC এবং ∠BAC = 70˚ হলে ∠ABC ও ∠ACB এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, AB = AC
∴ ∠ACB = ∠ABC (∵ বিপরীত কোণদ্বয় সমান)
∠BAC = 70˚
আমরা জানি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180˚।
∴ ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180˚
বা, 2∠ABC + 70˚ = 180˚ (∵ ∠ABC = ∠ACB)
বা, 2∠ABC = 180˚ – 70˚ = 110˚
বা, ∠ABC = (110˚)/2 = 55˚
∴ ∠ACB = 55˚ (উত্তর)
দ্বিতীয় উদাহরণঃ প্রমাণ কর, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তার পরিমাণ সমান।
প্রমাণ: ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার AB = AC
সুতরাং, ∠ACB = ∠ABC
BC বাহুকে বর্ধিত করলে দুটি বহিঃকোণ ∠ABD ও ∠ACE উৎপন্ন হল।
প্রমাণ করতে হবে:- ∠ABD = ∠ACE
প্রমাণ: ∆ABC এর,
∠ABC = ∠ACB (AB ও AC বাহুর বিপরীত কোণ)
DC সরলরেখার উপর BA রশ্মি দন্ডায়মান হওয়ায় সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180˚
∴ ∠ABD + ∠ABC = 180˚ — (1)
আবার একই ভাবে, BE বাহুর উপর AC রশ্মি দন্ডায়মান হওয়ায় সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180˚
∴ ∠ACB + ∠ACE = 180˚ —(2)
(1) ও (2) নং থেকে পাই
∠ABD + ∠ABC = ∠ACB + ∠ACE
বা, ∠ABD = ∠ACE [∵ ∠ABC = ∠ACB] (প্রমানিত)
পর্ব সমাপ্ত।
লেখিকা পরিচিতিঃ
শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।
এই লেখাটির সর্বস্বত্ব সংরক্ষিত। বিনা অনুমতিতে এই লেখা, অডিও, ভিডিও বা অন্যভাবে কোনো মাধ্যমে প্রকাশ করলে তার বিরুদ্ধে আইনানুগ ব্যবস্থা নেওয়া হবে।
এই লেখাটি থেকে উপকৃত হলে সবার সাথে শেয়ার করার অনুরোধ রইল।
JumpMagazine.in এর নিয়মিত আপডেট পাওয়ার জন্য –
- ফলো করো – WhatsApp চ্যানেল
- সাবস্ক্রাইব করো – YouTube চ্যানেল
- লাইক করো – facebook পেজ
- সাবস্ক্রাইব করো – টেলিগ্রাম চ্যানেল
- Facebook Group – লেখা – পড়া – শোনা
VIII_M_9
