log সম্পর্কিত কয়েকটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান

বিষয়: গণিত – নবম শ্রেনি । অধ্যায়: Logarithm (পর্ব দুই)

আগের পর্বে আমরা এর ধারণা এবং বিভিন্ন ধর্ম নিয়ে আলোচনা করেছি। আজকের পর্বে আমরা logএর কিছু নির্দিষ্ট ধরনের গণিতের সমস্যার সমাধানের চেষ্টা করবো। যদি আগের পর্ব না পড়া থাকে, তাহলে এই পর্বটি পড়ার আগে আগের পর্বটি পড়ার অনুরোধ জানাই।

এবার মুল প্রসঙ্গে ফেরা যাক, log এর ক্ষেত্রে সাধারণভাবে দুই ধরণের প্রশ্ন দেখা যায়।

সরল
সমাধান বা প্রমাণ

আমরা একে একে এই দুই ধরনের কিছু গণিতের সমস্যার সমাধান করবো।

[আরো পড়ুন – log-এর ধারণা]

Type – 1 | সরল কর

প্রথম উদাহরণ । $\mathbf{\log_a ((x^{2}+1)^{4}\sqrt{x})}$

= $\log_a (x^{2}+1)^{4} +\log_a \sqrt{x} [\because log_a xy = log_a x + log_a y]$

= $4\log_a (x^{2}+1)^{4} +\frac{1}{2}\log_a x [\because log_a x^{y} = y.log_a x]$

JUMP ম্যাগাজিনের ফেসবুক পেজ লাইক করার আবেদন রইল! 🙂

দ্বিতীয় উদাহরণ । $\boldsymbol{\log_2 \log_3 \log_7 343 = ?}$

= $\log_2 \log_3 \log_7 7^{3} [\because 7^{3}=343]$

= $\log_2 \log_3 3 \log_7 7 [\because \log_a x^{y}= y\log_a x]$

= $\log_2 \log_3 3 . 1 [\because \log_a a = 1]$

= $\log_2 1 \mathit{[\because \log_a 1 = 0]}$

= 0

Type – 2 | সমাধান কর

তৃতীয় উদাহরণ । $\mathbf{\log x + \log (x-1) = \log(3x+12)}$

[এখানে আমরা 3টি log থেকে দুটি log আনতে পারি। তাতে চেষ্টা করব যাতে উভয় পক্ষ থেকেই log উঠে যায়।]

$\because \log x + \log y = \log {x y}$

$\therefore \log x + \log {x-1} = \log x(x-y)$

প্রশ্নানুসারে,

$\log {x(x-1)} = \log {(3x+12)}$

[এক্ষেত্রে উভয় পক্ষেই log আছে এবং একই base আছে। এবং তাদের সহগ অর্থাৎ log এর সামনে থাকা ধ্রুবক রাশি বা সংখ্যা ও চিহ্ন একই থাকাই log তুলতে পারব।]

$\therefore x(x-1) =3x +12$

$\implies x^{2} - x = 3x+12$

$\implies x^{2} - 4x -12 = 0$

$\implies x^{2} - 6x +2x -12 = 0$

$\implies x(x-6)+2(x-6)=0$

$\implies (x+2)(x-6)=0$

$\therefore x=2$ এবং $x=6$

এখন x এর বীজদ্বয়কে সমীকরণটির সমাধান বলার পূর্বে যাচাই করা যাক বীজ দ্বয় Satisfy করছে কিনা সমীকরণকে।

যখন $x=2$

বামপক্ষ

ডানপক্ষ

$\log {(-2)}+\log{(-2-1)}$

$\log {(3(-2)+12)}$

= $\log 6$

[এক্ষেত্রে log(-2) আমরা নেবনা কারণ, এইরূপ ঋণাত্মক সংখ্যা থাকলে আমরা শুধুই ঋণাত্মক রাশির logarithmic value পাব পরিশেষে, ধনাত্মক রাশিগুলির পাব না। তাই x = -2 সমাধান নেওয়া হবে না।]

যখন $x=6$ ,

বামপক্ষ

ডানপক্ষ

$\log 6 + \log {(6-1)}$

= $\log 6 + \log {5}$

= $\log {30}$

$\log {3\times 6+12}$

= $\log {18+12}$

= $\log {30}$

∴ $x=6$ হবে উত্তর।

নবম শ্রেণির অন্যান্য বিভাগগুলি দেখুন –

আশা করি, উপরের তিনটি উদাহরণ থেকে তোমাদের log-এর গাণিতিক সমস্যা সম্পর্কে ধারণা অনেকটাই পরিষ্কার হয়েছে। সব শেষে তোমাদের জন্য রইল একটি গাণিতিক সমস্যা, সমস্যাটি গণনা করে উত্তর নিচের কমেন্ট বক্সে উত্তর জানাতে ভুলো না কিন্তু!

নিজে কর → $\mathbf{\log_{x} = 1 - \log{(x-3)}; x=?}$