বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যের গাণিতিক উদাহরণ

গণিত – দশম শ্রেণি – বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

গত পর্বে বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য সম্পর্কে আলোচনা করেছি, এই পর্বে আমরা এই অধ্যায়ের কিছু গাণিতিক উদাহরণ বুঝে নেব।

1. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ এর দূরত্ব 2.1 সেমি। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান- O বিন্দু থেকে PQ জ্যা এর দূরত্ব 2.1 সেমি।
বৃত্তের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি। S হল PQ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, $PS=\frac{1}{2}\times{PQ}=\frac{1}{2}\times 4=2$ সেমি।
△POS থেকে পাই,
$OP^2=OS^2+PS^2$
বা, $OP^2=(2.1)^2+(2)^2$
বা, $OP^2=4.41+4$
বা, $OP^2=8.41$
বা, OP=2.9
সুতরাং, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.9 সেমি।
উত্তরঃ ব্যাসের দৈর্ঘ্য $2.9\times2=5.8$ সেমি।

দশম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – গণিত | জীবন বিজ্ঞান | ভৌতবিজ্ঞান

2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-র দূরত্ব কত?

সমাধান- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের মান 5 সেমি।
OB ব্যাসার্ধ = 5 সেমি।
AB জ্যা= 8 সেমি।
D হল AB এর মধ্যবিন্দু
সুতরাং, $BD=\frac{1}{2}\times AB=\frac{1}{2}\times8=4$ সেমি।
OD হল কেন্দ্র ও জ্যা এর মধ্যে দূরত্ব △ODB থেকে পাই, পিথাগোরাসের সুত্র অনুযায়ী
অতিভুজ²= লম্ব²+ভুমি²
$OB^2=OD^2+BD^2$
বা, $5^2=OD^2+4^2$
বা, $OD^2=5^2-4^2$
বা, $OD^2=25-16$
বা, $OD^2=9$
বা, $OD=\sqrt{9}$
বা, OD=3
উত্তরঃ কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যে দূরত্ব হল 3 সেমি।

3. একটি সরলরেখা দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ কর AC=DB.

সমাধান- ধরি, দুটি এক কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O
এবং CD সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ও অপরবৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কন- কেন্দ্র O থেকে CD সরলরেখার উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ- ক্ষুদ্রতম বৃত্তের ক্ষেত্রে AB জ্যা OP ⊥ AB
P হল AB এর মধ্যবিন্দু AP = PB ………….(i)
বৃহত্তম বৃত্তের ক্ষেত্রে CD জ্যা, OP⊥ CD
সুতরাং, CP = PD [ P হল CD এর মধ্যবিন্দু ] …………(ii)
(ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই
CP – AP = PD – PB
বা, AC = DB [প্রমাণিত]

4. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ কর যে, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

প্রদত্ত- O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান
প্রমাণ করতে হবে, ∠BAC এর অন্তর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী।
অঙ্কন- A, O; O, B; ও O, C যুক্ত করা হল
প্রমাণ- AO হল O বিন্দুগামী সরলরেখা।
এখন AO, ∠BAC কোণের সমদ্বিখণ্ডক প্রমাণ করলে বলা যাবে ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
∆AOB এবং ∆AOC থেকে পাই
i) AB = AC [প্রদত্ত]
ii) OA সাধারণ বাহু
iii) OC = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
সুতরাং, ∆AOB ≅ ∆AOC [সর্বসম ত্রিভুজ S-S-S শর্তে]
∠BAO = ∠CAO [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরুপ কোণ]
অর্থাৎ, AO হল ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠BAC এর অন্তর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী। [প্রমাণিত]