bijganitik-songkhyamalar-utpadoke-bishleshon
WB-Class-8

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ

শ্রেণি – অষ্টম | বিষয়: গণিত । অধ্যায়: বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ


আগের পর্বে আমরা মিশ্রণ সম্পর্কে জেনেছি। এই পর্বে আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্পর্কে জেনে নেব।

ছোটবেলায়, আমরা যখন গুণ, ভাগ শিখেছি তখন জেনেছি যে, গুণফল = গুণ্য × গুণক
অর্থাৎ, 60(গুণফল) = 12(গুণ্য) × 5(গুণক)

আবার, ভাগের ক্ষেত্রে আমরা জানি, ভাজ্য ÷ ভাজক = ভাগফল।
যদি 60 কে ভাজ্য ধরি এবং ভাজক যদি 5 হয়, তবে ভাগফল হবে 12।
অথবা, ভাজ্য 60, ভাজক 12 তবে ভাগফল হবে 5।
অর্থাৎ 60 (ভাজ্য) ÷ 5 (ভাজক) = 12 (ভাগফল)
60 (ভাজ্য) ÷ 12 (ভাজক) = 5 (ভাগফল)

সুতরাং আমরা দেখছি 60 কে 12 দিয়েও ভাগ করা যায় আবার 5 দিয়েও ভাগ করা যায়। তাহলে 60 কে কি শুধুই 12 আর 5 দিয়েই ভাগ করা যায়?
এর উত্তর কিন্তু না হবে। অর্থাৎ আরো অনেক সংখ্যা দিয়েই 60 কে ভাগ করা যাবে।

60 কে আমরা বিভিন্ন ভাবে লিখতে পারি

60 = 1 × 60
60 = 3 × 20
60 = 5 × 12
60 = 2 × 30
60 = 4 × 15
60 = 6 × 10
সুতরাং, 60 কে আমরা 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60 এই সংখ্যাগুলি দিয়ে ভাগ করতে পারি।
∴ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60 এইগুলি হল 60 এর উৎপাদক।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
আবার, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহুর দৈর্ঘ্য × বাহুর দৈর্ঘ্য

আমরা একটি আয়তক্ষেত্র নিলাম যার ক্ষেত্রফল (16a^2 + 24ab + 9b^2)। এই আয়তক্ষেত্রটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে চেষ্টা করি।

16a^2 + 24ab + 9b^2 (ক্ষেত্রফল) = (4a)^2 + 2 \times 4a \times 3b + (3b)^2
= (4a + 3b)^2
= (4a + 3b) (দৈর্ঘ্য) × (4a + 3b) (প্রস্থ)
অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের দৈর্ঘ্য (4a + 3b) একক।
ধরি, একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (121p^2 - 81q^2) বর্গএকক।
এই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে চেষ্টা করি।

(121p^2 - 81q^2) (ক্ষেত্রফল) = (11p)^2 - (9q)^2
= (11p + 9q) (বাহুর দৈর্ঘ্য) × (11p - 9q) (বাহুর দৈর্ঘ্য)
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (11p - 9q) একক।

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ অভেদ

I) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
II) (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
III) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)
IV) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
V) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
VI) x^2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
(VI) নং অভেদের উৎপাদক বিশ্লেষণ মধ্যপদের সহগ অর্থাৎ (a + b) এর উপর নির্ভর করে।

এই পদ্ধতিকে মধ্যসহগ বিশ্লেষণ পদ্ধতি বলে।

কতকগুলি উদাহরণের সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা দেখে নিই।
1. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি x^2 + (p + q)x + pq = (x + p) (x + q) অভেদের সাথে তুলনা করে p ও q এর মান খুঁজব ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। তোমরাও আমাদের সাথে সাথে করতে শুরু কর।

উৎপাদকে বিশ্লেষণের গাণিতিক উদাহরণ

a) (x^2 - 2x)^2 + 5(x^2 - 2x) - 36
সমাধান

ধরি, (x^2 - 2x) = a
a^2 + 5a - 36
= a^2 + (9 - 4)a - 36
= a^2 + 9a - 4a - 36
= a(a + 9) - 4(a + 9)
= (a + 9) (a - 4) [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
= (x^2 - 2x + 9) (x^2 - 2x - 4) [a এর মান বসিয়ে] (উত্তর)

b) a^6 + 3a^3b^3 - 40b^6 [40 = 5 \times 8; 3 = (8 - 5)]
সমাধান

= a^6 + (8 - 5)a^3b^3 - 40b^6
= a^6 + 8a^3b^3 - 5a^3b^3 - 40b^6 [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
= a^3 (a^3 + 8b^3) - 5b^3 (a^3 + 8b^3)
= (a^3 + 8b^3) (a^3 - 5b^3)
= [(a)^3 + (2b)^3] (a^3 - 5b^3)
= (a + 2b) (a^2 - 2ab + 4b^2) (a^3 - 5b^3) [(IV) নং অভেদের সাহায্যে] (উত্তর)
jump-magazine-subscription
c) (x + 1) (x + 9) (x + 5)^2 + 63
সমাধান

= (x^2 + 9x + x + 9) (x + 5) (x + 5) + 63
= (x^2 + 10x + 9) (x^2 + 10x + 25) + 63
ধরি, (x^2 + 10x) = a
(a + 9) (a + 25) + 63
= a^2 + 25a + 9a + 225 + 63
= a^2 + 34a + 288 [288 = 18 \times 16; 34 = (18 + 16)]
= a^2 + (18 + 16)a + 288 [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
= a(a + 18) + 16(a + 18)
= (a + 18) (a + 16)
= (x^2 + 10x + 18) (x^2 + 10x + 16) [16 = 8 \times 2; 10 = (8 + 2)]
= (x^2 + 10x + 18) (x^2 + 8x + 2x + 16)
= (x^2 + 10x + 18) [x(x + 8) + 2(x + 8)]
= (x^2 + 10x + 18) (x + 8) (x + 2) (উত্তর)

d) x^2 - bx - (a + 3b) (a + 2b)
সমাধান

= x^2 - [(a + 3b) - (a + 2b)]x - (a + 3b) (a + 2b) [(VI) নং অভেদের সাহায্যে]
= x^2 - (a + 3b)x + (a + 2b)x - (a + 3b) (a + 2b)
= x [x - (a + 3b)] + (a + 2b) [x - (a + 3b)]
= [x - (a + 3b)] [x + (a + 2b)]
= (x - a - 3b) (x + a + 2b) (উত্তর)

e) 7x^2 + 48xy - 7y^2\; \; latex [7 \times 7 = 49; 48 = (49 - 1)]
সমাধান

= 7x^2 + (49 - 1) xy - 7y^2
= 7x^2 + 49xy - 1xy - 7y^2
= 7x (x + 7y) - y (x + 7y)
= (7x - y) (x + 7y) (উত্তর)

f) 6 + 5a - 6a^2\; \; \; [6 \times 6 = 36; 36 = 9 \times 4; 5 = (9 - 4)]
সমাধান

= 6 + (9 - 4)a - 6a^2
= 6 + 9a - 4a - 6a^2
= 3(2 + 3a) - 2a(2 + 3a)
= (2 + 3a) (3 - 2a) (উত্তর)


অষ্টম শ্রেণির অন্য বিভাগগুলি – বাংলা | ইংরেজি | গণিত | বিজ্ঞান

g) 6(a + b)^2 + 5(a^2 - b^2) - 6(a + b)^2 \; \;\; [6 \times 6 = 36; 36 = 9 \times 4; 5 = (9 - 4)]

সমাধান

= 6(a + b)^2 + (9 - 4) (a + b) (a - b) - 6(a + b)^2
= 6(a + b)^2 + 9(a + b) (a - b) - 4(a + b) (a - b) - 6(a + b)^2
= 3(a + b) [2(a + b) + 3(a - b)] - 2(a - b) [2(a + b) + 3(a - b)]
= [2(a + b) + 3(a - b)] [3(a + b) - 2(a - b)]
= [2a + 2b + 3a - 3b] [3a + 3b - 2a + 2b]
= [5a - b] [a + 5b] (উত্তর)

অধ্যায় সমাপ্ত। পরবর্তী পর্ব → গ.সা.গু এবং ল.সা.গু নির্ণয়

লেখিকা পরিচিতিঃ

শ্রীরামপুর কলেজের প্রাক্তনী সুরভী ঘোষ গণিতে স্নাতকোত্তর। গণিত চর্চার পাশাপাশি সুরভী বই পড়তে, গান শুনতে এবং গাইতে ভালোবাসেন।



এছাড়া,পড়াশোনা সংক্রান্ত যেকোনো বিষয়ের আলোচনায় সরাসরি অংশগ্রহন করতে যুক্ত হতে পারেন ‘লেখা-পড়া-শোনা’ ফেসবুক গ্রূপে। এই গ্রুপে যুক্ত হতে ক্লিক করুন এখানে।